Квадратичные выражения и неравенства · Повышенный уровень
Введено| English | Значение |
|---|---|
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | дискриминант |
Какие ширины обеспечивают достаточное пространство?
- Прямоугольное ограждение имеет площадь x(10-x). Какие ширины дают как минимум 21 квадратных метров?
- Этот урок посвящён дискриминанту: величине b²-4ac, определяющей действительные корни уравнения ax²+bx+c=0.
Выберите математическую структуру
- Разложите на множители там, где это возможно; иначе выделите полный квадрат или используйте формулу корней квадратного уравнения. Квадратное неравенство требует определения знака на промежутках, а не только нахождения корней. Дискриминант позволяет выявить кратные или отсутствующие действительные корни.
- Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Дискриминант уравнения x²-6x+9=0 равен 0. Что это означает?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
b²-4ac=36-36=0 означает, что парабола касается оси: один кратный корень, здесь x=3. Отсутствие действительных корней требует отрицательного дискриминанта.
Разберите проверенный случай
- Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Уравнение x²-10x+21=0 раскладывается как (x-3)(x-7)=0, откуда корни 3 и 7. Выделение полного квадрата: x²-10x+21=(x-5)²-4, откуда вершина (5,-4) и ось симметрии x=5. Формула x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) также дает (10±4)/2=3,7. Для 2x²+5x-3=0 дискриминант равен 49, а корни (-5±7)/4=1/2,-3. График дает приблизительные корни, когда точное разложение неудобно. Для заграждения площадью A=x(10-x) выделите полный квадрат, чтобы получить A=25-(x-5)². Максимальная площадь равна 25 при x=5, что находится в пределах 0<x<10.
Квадратные уравнения и неравенства
y=(x²-10x+21)/4
График преобразует вертикальную ось с положительным множителем 1/4. Проверьте, почему корни остаются равными 3 и 7.
Найдите меньший корень x²-10x+21=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Разложите на множители: (x-3)(x-7)=0. Меньший корень равен 3.
Проверьте соблазнительное сокращение
- Умножение неравенства на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный. Эскиз должен показывать, какая сторона каждого корня удовлетворяет неравенству. Геометрия может дополнительно ограничить допустимые значения x.
- Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Положительный дискриминант означает, что квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Найдите дискриминант выражения x²-6x+9=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Дискриминант вычисляется как (-6)²-4×1×9=0.
Положительный дискриминант означает, что квадратичная функция не имеет действительных корней.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Умножение неравенства на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный. На эскизе графика необходимо указать, какая сторона от каждого корня удовлетворяет неравенству. Геометрические ограничения могут дополнительно ограничить допустимые значения x.
Интерпретируйте новую ситуацию
- AQA A11/A18 Higher интерпретирует корни, пересечения с осями и вершины, выделяет полный квадрат и использует формулу корней квадратного уравнения, включая уравнения, требующие преобразования. Разложение на множители и подстановка проверяют каждый результат.
- Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Найдите максимальное значение выражения x(10-x).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Выделите полный квадрат: x(10-x)=25-(x-5)². Максимальное значение равно 25.
Соотнесите каждое значение дискриминанта с корнями квадратного уравнения.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Дискриминант определяет количество действительных корней до решения; он показывает, какой вид ответа следует ожидать.
Примените это в своем курсе
- 8300 · Higher · 3.2. Перед назначением дополнительных заданий соотнесите целевой уровень и спецификацию экзамена.
- Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Величина b²-4ac, определяющая действительные корни уравнения ax²+bx+c=0. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его предпосылки и интерпретируйте результат.