Точные корни и знаменатели, от которых избавляются · Продвинутый уровень
Введено| English | Значение |
|---|---|
| surd/sɜːd/ | иррациональное число (корень) |
Может ли корень остаться точным?
- Площадь квадрата равна 12 см². Можно ли записать длину его стороны точно, без десятичных дробей на калькуляторе?
- В этом уроке изучается иррациональный корень: иррациональный корень, сохраняемый в точной форме, а не заменяемый округленным десятичным значением.
Выберите математическую структуру
- Вынесите квадратичные множители: √(a²b)=a√b для a≥0, b≥0. Складывайте только сходящиеся части корней. Умножайте корни с неотрицательными подкоренными выражениями. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножьте числитель и знаменатель на один и тот же подходящий корень или сопряженное выражение.
- Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Почему √(a+b) обычно не равно √a+√b?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Тестовый случай a=9, b=16 это подтверждает: √25=5, но 3+4=7. Только умножение распределяется относительно корней: √(a²b)=a√b.
Разберите проверенный случай
- Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Сторона равна √12=√(4×3)=2√3 см. Следовательно, √12+√27=2√3+3√3=5√3. Также 6/√3=6√3/3=2√3. Для выражения 1/(2+√3) умножьте на (2-√3)/(2-√3): знаменатель станет равен 4-3=1, что даст результат 2-√3. Круг радиусом 3 имеет точную площадь 9π; десятичное значение является лишь приближением.
Точные корни и знаменатели, от которых избавляются
Вынесите квадратные множители: √(a²b) = a√b для a≥0, b≥0
Сравните модель с разобраным примером и объясните одно изменение.
Найдите коэффициент при √3 в выражении √12.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Поскольку ⟨12⟩ = ⟨4⟩ × ⟨3⟩, то √12 = ⟨2⟩√3.
Проверьте соблазнительное сокращение
- √(a+b) обычно не равно √a+√b. Приводите к единому виду подкоренные выражения перед сложением. Избавление от иррациональности меняет форму записи, но не значение; умножение только знаменателя изменит значение.
- Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Для любой пары положительных чисел выполняется √(a+b)=√a+√b. Это утверждение ложно. Объясните, какое определение или предположение оно нарушает.
Найдите коэффициент при √3 в выражении √12+√27.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Так как √12 = ⟨2⟩√3 и √27 = ⟨3⟩√3; сложите коэффициенты: ⟨2⟩ + ⟨3⟩ = ⟨5⟩.
Для любой пары положительных чисел справедливо равенство: √(a+b) = √a + √b.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
В общем случае √(a+b) не равно √a + √b. Сгруппируйте подкоренные выражения перед приведением подобных слагаемых. Избавление от иррациональности в знаменателе изменяет вид числа, но не его значение; умножение только знаменателя изменяет само число.
Интерпретируйте новую ситуацию
- AQA N8 Higher требует знания точных иррациональных корней и их преобразований. Foundation сохраняет точные дроби и кратные π; не назначайте этот урок по иррациональным корням учащимся уровня Foundation.
- Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Найдите коэффициент при √3 в выражении 6 / √3.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Умножьте на √3 / √3: получаем ⟨6⟩√3 / ⟨3⟩ = ⟨2⟩√3.
Соотнесите каждое действие с иррациональным числом с его результатом.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Сначала вынесите квадратные множители, соберите только одинаковые части под корнем, а затем избавьтесь от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на один и тот же корень или сопряжённое выражение.
Примените это в своем курсе
- 8300 · Продвинутый уровень · 3.1. Сопоставьте целевой уровень и спецификацию перед назначением дополнительных заданий.
- Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Иррациональный корень должен оставаться в точной форме, а не заменяться округленным десятичным значением. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.