Совпадают ли эти точки?
| English | Русский |
|---|---|
| least-squares regression/liːst skweəz rɪˈɡreʃn/ | регрессия методом наименьших квадратов |
Наклон тоже колеблется
- В Разделе 2 мы подгоняли линию наименьших квадратов и читали ее наклон $b$.
- Но $b$ получен из выборки — другая выборка даст немного другой наклон.
- Так что наклон варьируется от выборки к выборке, точно так же, как $\bar{x}$ или $\hat{p}$.
- Раздел 9 проводит инференцию о истинном наклоне $\beta$, стоящем за данными.
Выборочное распределение b
- Соберите наклон $b$ из каждой возможной выборки → его выборочное распределение.
- Оно центрировано на истинном выборочном наклоне $\beta$ (так что $b$ является несмещенной оценкой для $\beta$).
- Его разброс — это стандартная ошибка наклона, $SE_b$.
- При правильных условиях это распределение моделируется $t$-распределением.
Инференсия об отношении
- Инференсия для наклонов спрашивает: есть ли действительно линейная связь и насколько она сильна?
- Истинный наклон $\beta$ неизвестен; $b$ оценивает его с неопределенностью.
- Доверительный интервал дает диапазон для $\beta$; тест определяет, соответствует ли $\beta = 0$.
- Оба количественно выражают нашу уверенность в линии за облаком точек.
Основано на Разделе 2
- Все опирается на модель линейной регрессии методом наименьших квадратов $\hat{y} = a + bx$.
- $b$ все еще является ожидаемым изменением в $y$ на единицу $x$ — теперь с планками погрешности.
- Мы добавляем интервал и тест на основе $t$ вокруг этого наклона.
- Инференсия для регрессии — это «наклон Раздела 2 плюс механика $t$ Раздела 7».
Наклон $b$ из одной выборки — это оценка, а не истина $\beta$. Другая случайная выборка дала бы другой $b$. Инференсия для наклонов — это та же самая логика, что и для средних — интервал и тест на основе $t$ вокруг выборочной статистики — примененная к наклону регрессии, со своей собственной стандартной ошибкой $SE_b$.
Подгонка часов учеников vs. балла для одного класса дает наклон $b = 4.2$.
- Другой класс дал бы другой $b$ (возможно, $3.8$ или $4.6$) — выборочная вариативность.
- Истинный наклон $\beta$ для всех студентов неизвестен; $b = 4.2$ оценивает его.
- Раздел 9 строит интервал и тест для этого неизвестного $\beta$.
Наклон $b$ подогнанной линии варьируется от выборки к выборке; его выборочное распределение центрировано на истинном наклоне $\beta$ с разбросом $SE_b$ и моделируется $t$-распределением. Выводы о наклонах количественно оценивают неопределенность относительно истинной линейной зависимости, непосредственно опираясь на модель метода наименьших квадратов.
Подобранное значение наклона варьируется в зависимости от выборки
Каждая выборочная линия наименьших квадратов имеет слегка различный наклон b.
Наклон b из выборки — это...
b оценивает неизвестный генеральный наклон β с учетом неопределенности.
Выборочное распределение выборочного наклона b центрировано на истинном наклоне β.
b является несмещенной оценкой для β.
Инференция для наклонов моделируется с помощью какого распределения?
Как и среднее, инференция для наклона использует t-распределение.
Инференция в регрессии основана на модели наименьших квадратов ŷ = a + bx из Раздела 2.
Она добавляет t-доверительный интервал и тест вокруг наклона из Раздела 2.
Разброс выборочного распределения b равен стандартной ошибке ___ (одно слово).
SE_b — это стандартная ошибка наклона.