Доверительный интервал для наклона
Условия LINER
- Для выводов о наклоне необходимо пять условий — запомните аббревиатуру LINER:
- L (Linear): Линейная (истинная зависимость линейна) · I (Independent): Независимые наблюдения.
- N (Normal): Нормальное (отклики распределены нормально вокруг линии) · E (Equal SD): Равное стандартное отклонение (постоянный разброс по $x$).
- R (Random): Случайная (данные получены из случайной выборки или эксперимента). Графики остатков помогают проверить условия L, N, E.
Прочитайте вывод компьютера
- Выводы о наклоне почти всегда начинаются с вывода программы.
- Найдите строку для объясняющей переменной: её оценка является наклоном $b$.
- Следующий столбец показывает стандартную ошибку $SE_b$.
- Вывод также содержит статистику $t$ и p-value — но сначала мы строим доверительный интервал.
Построение t-интервала
- Интервал для наклона имеет вид: оценка $\pm$ ± предельная ошибка:
-
$$b \pm t^{*}\, SE_b$$
- Используйте $t$-распределение со $df = n - 2$ степенями свободы (две оценки: наклон и свободный член).
- $t^{*}$ берется из этого $df$ при вашем уровне доверия.
Интерпретация в контексте задачи
- «Мы на $95\%$ уверены, что истинный наклон $\beta$ находится между границами.»
- Скажите, что означает наклон: ожидаемое изменение $y$ на единицу увеличения $x$.
- Назовите реальные переменные и единицы измерения.
- Интервал представляет собой диапазон правдоподобных значений для $\beta$.
Вывод о наклоне использует $df = n - 2$, а не $n - 1$. Оцениваются два параметра (наклон и свободный член), поэтому вы теряете две степени свободы. Считайте $b$ и $SE_b$ прямо из вывода — не пересчитывайте их — и помните, что интервал имеет вид $b \pm t^{*}SE_b$, ту же форму оценки-$\pm$-погрешности, что и любой другой $t$-интервал.
Вывод: наклон $b = 4.2$, $SE_b = 1.0$, $n = 20$. Постройте $95\%$ интервал. ($df = 18$, $t^{*} \approx 2.10$.)
- Погрешность: $2.10 \times 1.0 = 2.10$.
- Интервал: $4.2 \pm 2.10 = (2.1,\ 6.3)$.
- Интерпретация: мы на $95\%$ уверены, что каждый дополнительный час предсказывает увеличение на от $2.1$ до $6.3$ баллов.
После проверки условий LINER прочитайте $b$ и $SE_b$ из вывода и постройте $t$-интервал для наклона $b \pm t^{*}\,SE_b$, используя $df = n - 2$. Проинтерпретируйте его в контексте — это диапазон правдоподобных значений для истинного наклона $\beta$ (ожидаемое изменение $y$ на каждую единицу изменения $x$).
Подобранный наклон и его неопределенность
Интервал b ± t*·SE_b дает правдоподобные значения истинного наклона.
Для инференции наклона при n = 20 каково число степеней свободы (n − 2)?
df = n − 2 = 18 (оцениваются наклон и пересечение).
b = 4.2, SE_b = 1.0, t* = 2.10. Найдите предельную ошибку t*·SE_b.
2.10 × 1.0 = 2.10.
В компьютерном выводе регрессии наклон b находится в столбце под меткой...
Оценка объясняющей переменной — это наклон.
Инференция для наклона использует n − 1 степень свободы.
Это n − 2 — оцениваются два параметра (наклон и пересечение).
Мнемоническое правило для пяти условий инференции наклона — ___ (пять букв).
Линейность, Независимость, Нормальность, Равенство SD, Случайность.