Проведение теста хи-квадрат для таблицы двух факторов
Вычисление статистики
- Статистика хи-квадрат — это одна и та же сумма по каждой ячейке таблицы:
-
$$\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}$$
- Используйте наблюдаемую частоту каждой ячейки и её ожидаемую частоту из параграфа 8.4.
- Сложите все член-члены ячеек в один $\chi^2$.
Найдите p-значение
- Используйте распределение хи-квадрат с $df = (\text{rows}-1)(\text{columns}-1)$.
- p-значение — это правый хвост за вашей $\chi^2$.
- Большая $\chi^2$ → малое p-значение → сильное доказательство против $H_0$.
- Получите правильное $df$ из формы таблицы, а не из размера выборки.
Примите решение
- Сравните p-значение с $\alpha$:
- p $\le \alpha$ → отвергнуть $H_0$; p $> \alpha$ → не отвергать.
- Отклонение: группы различаются (гомогенность) или переменные ассоциированы (независимость).
- Не отклонение: недостаточно убедительных доказательств различия/ассоциации.
Сформулировать вывод в контексте
- Для гомогенности: «убедительные доказательства того, что распределения различаются по группам» (если отвергнуто).
- Для независимости: «убедительные доказательства того, что две переменные ассоциированы» (если отвергнуто).
- Назовите переменные/группы и фактический контекст.
- Непринятие гипотезы никогда не доказывает, что группы одинаковы / переменные независимы.
Сформулируйте вывод в соответствии с тестом. Отклонение в тесте на гомогенность → распределения групп различаются; отклонение в тесте на независимость → переменные связаны. Не говорите «переменные связаны» для дизайна гомогенности или «группы различаются» для дизайна независимости — математика общая, но утверждение разное.
Тест на $2\times2$ независимость дает $\chi^2 = 6.0$, $df = 1$, $\alpha = 0.05$.
- p-значение: площадь правого хвоста за $6.0$ при $df=1 \approx 0.014$.
- Решение: $0.014 \le 0.05$ → отклонить $H_0$.
- Вывод: убедительные данные о том, что две переменные связаны (в контексте).
Вычислите $\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed}-\text{expected})^2}{\text{expected}}$ по всем ячейкам, найдите p-значение правого хвоста при $df = (\text{rows}-1)(\text{columns}-1)$ и сравните со $\alpha$. Сформулируйте вывод в соответствии с дизайном: распределения различаются (гомогенность) или переменные связаны (независимость), в контексте.
Правосторонняя площадь хи-квадрат
p-значение — это площадь правого хвоста при df = (r−1)(c−1).
При χ² = 6.0 при df = 1, p-значение ≈ 0.014. При α = 0.05 решение будет...
0.014 ≤ 0.05 → отвергнуть H0.
Отказ от H0 в тесте на НЕЗАВИСИМОСТЬ означает...
Независимость: отказ → переменные ассоциированы.
Отклонение H0 в тесте на гомогенность означает...
Гомогенность: отклонение → распределения групп различаются.
p-значение для двухфакторного χ²-теста — это площадь правого хвоста.
χ²-тест всегда является односторонним (правосторонним).
Для таблицы 3×4 найдите число степеней свободы по формуле (r−1)(c−1).
(3−1)(4−1) = 2×3 = 6.