Ожидаемые подсчеты в таблицах двух факторов
Ожидаемые частоты в таблице
- Для таблицы contingency у каждой ячейки есть своя ожидаемая частота при нулевой гипотезе «нет связи».
- Формула:
-
$$\text{expected} = \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{grand total}}$$
- Вычисляйте её отдельно для каждой ячейки.
Почему эта формула?
- При нулевой гипотезе две переменные независимы — доля столбца одинакова во всех строках.
- Поэтому ожидаемая частота ячейки = (итог этой строки) $\times$ (общая доля этого столбца).
- Эта доля столбца равна $\dfrac{\text{column total}}{\text{grand total}}$.
- Раскрыв скобки, получаем формулу: итог строки $\times$ итог столбца $\div$ общий итог.
Проверьте каждую ячейку
- Условие больших частот относится к каждой ожидаемой частоте ячейки $\ge 5$.
- Не к наблюдаемым частотам и не только к некоторым ячейкам — ко всем.
- Одна маленькая ожидаемая ячейка может сделать весь тест недействительным.
- Рассчитайте полную таблицу ожидаемых частот и проверьте её.
Степени свободы
- Для таблицы contingency $df = (\text{rows} - 1)(\text{columns} - 1)$.
- Таблица размера $2 \times 3$ → $df = (2-1)(3-1) = 2$.
- Она считает количество «свободных» ячеек после фиксации полей.
- Она зависит от формы таблицы, а не от размера выборки.
Ожидаемые подсчеты в таблице двух факторов
Вычислите подсчет, который вы бы ожидали в ячейке, если бы две переменные были независимы.
Две переменные в таблице contingency $df$ — это $(\text{rows}-1)(\text{columns}-1)$, произведение — не (ячейки $-1$). Таблица размера $2\times2$ имеет $df=1$, а не $3$. И формула ожидаемых частот использует итог строки $\times$ итог столбца $\div$ общий итог для каждой ячейки; перепутать, какие итоги идут в числителе — типичная ошибка. Проверяйте каждую ожидаемую частоту $\ge 5$.
Таблица размера $2\times2$: итоги строк $60, 40$; итоги столбцов $50, 50$; общий итог $100$.
- Ожидаемая для ячейки в верхнем левом углу: $\dfrac{60 \times 50}{100} = 30$.
- Повторите для всех четырех ячеек: $30, 30, 20, 20$ — все $\ge 5$ ✓.
- $df$: $(2-1)(2-1) = 1$.
В таблице contingency у каждой ячейки ожидаемая частота $= \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{grand total}}$ (из нулевой гипотезы об отсутствии связи). Убедитесь, что каждая ожидаемая частота является $\ge 5$. Число степеней свободы равно $(\text{rows} - 1)(\text{columns} - 1)$.
Сумма строки 60, сумма столбца 50, общая сумма 100. Найдите ожидаемый подсчет (строка·столбец / общая).
60 × 50 / 100 = 30.
Для таблицы двух факторов 2×3 каковы степени свободы (r−1)(c−1)?
(2−1)(3−1) = 1×2 = 2.
Для таблицы двух факторов 2×2 каковы степени свободы?
(2−1)(2−1) = 1.
Условие больших подсчетов для таблицы двух факторов требует...
Все ожидаемые ячейки должны быть не менее 5.
Степени свободы для таблицы двух факторов равны количеству ячеек минус 1.
Это (строки−1)(столбцы−1), произведение.