Проведение теста на соответствие распределению
| English | Русский |
|---|---|
| chi-square statistic/kaɪ skweə stəˈtɪstɪk/ | статистики хи-квадрат |
Статистика хи-квадрат
- Статистика хи-квадрат суммирует стандартизированные отклонения по всем категориям:
-
$$\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}$$
- Каждый член сравнивает наблюдаемые и ожидаемые частоты одной категории.
- Возведение в квадрат делает каждое отклонение положительным; деление на ожидаемое масштабирует его.
Большие отклонения, большая статистика хи-квадрат
- Если наблюдаемые $\approx$ ожидаемых повсюду, каждый член мал → $\chi^2$ мал.
- Большие несоответствия делают члены большими → большое $\chi^2$.
- Поэтому большое $\chi^2$ является доказательством против заявленного распределения.
- $\chi^2$ всегда $\ge 0$ (сумма квадратов положительных величин).
Найдите p-значение
- p-значение — это площадь справа от $\chi^2$ под кривой хи-квадрат на соответствующем $df$.
- Хи-квадрат — это правосторонний тест — только большие значения являются «экстремальными».
- Большое $\chi^2$ находится далеко справа → маленькое p-значение → сильные доказательства против $H_0$.
- Используйте технологии или таблицу со $df = \text{categories} - 1$.
Решение и заключение
- Сравните p-значение со $\alpha$: p $\le \alpha$ → отвергнуть $H_0$; иначе не отвергать.
- Отвергнуть: убедительные доказательства того, что истинное распределение отличается от утверждения.
- Не отвергать: нет убедительных доказательств против заявленной подгонки.
- Сформулируйте это в контексте — о соответствии модели данным.
Хи-квадрат всегда правосторонний тест — никогда не удваивайте хвост. Только большие значения $\chi^2$ неожиданны, поэтому p-значение — это только площадь правого хвоста (в отличие от двустороннего $z$ или $t$). Также подставляйте в формулу частоты, а не пропорции, и используйте ожидаемые (а не наблюдаемые) в каждом знаменателе.
Кубик: наблюдаемое $8, 12, 9, 11, 10, 10$; ожидаемое $10$ каждое; $df = 5$.
- $\chi^2 = \tfrac{(8-10)^2}{10} + \tfrac{(12-10)^2}{10} + \cdots = \tfrac{4+4+1+1+0+0}{10} = 1.0$.
- p-значение: площадь правого хвоста за $1.0$ при $df=5$ велика ($\approx 0.96$).
- Решение: $0.96 > 0.05$ → не отвергать; нет доказательств того, что кубик несправедлив.
Статистика хи-квадрат $\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}$ измеряет общее несоответствие. Её p-значение — это правый хвост при $df = \text{categories} - 1$. Сравните с $\alpha$: отвергнуть $H_0$, если p $\le \alpha$ (модель плохо подходит), иначе не отвергать — формулируйте в контексте задачи.
Распределение с правосторонним перекосом
Хи-квадрат имеет правую хвостовую область — только большие значения являются экстремальными.
В одной категории наблюдаемое значение равно 8, ожидаемое — 10. Вычислите (наблюдаемое − ожидаемое)² / ожидаемое.
(8−10)²/10 = 4/10 = 0.4.
Тест хи-квадрат является...
Только большое χ² является экстремальным → только правый хвост.
Большое значение статистики хи-квадрат является доказательством против заявленного распределения.
Большие расхождения → большое χ² → доказательство против H0.
В формуле хи-квадрат каждый знаменатель равен подсчету ___.
Разделите квадрат расхождения на ожидаемый подсчет.
Статистика хи-квадрат может быть отрицательной.
Это сумма квадратов, деленная на положительные ожидаемые значения — всегда ≥ 0.