Векторы и движение в двух измерениях
| English | Русский |
|---|---|
| component/kəmˈpəʊnənt/ | компонент |
| resultant/rɪˈzʌltənt/ | результирующая |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | снаряд |
Самолёт летит на северо-восток — два движения в одном
- Одна стрелка указывает «на северо-восток», но самолёт на самом деле движется одновременно на восток и север.
- Почти никакое реальное движение не является чисто горизонтальным или вертикальным.
- Трюк кинематики в двух измерениях: разложить каждый вектор на перпендикулярные составляющие.
- Обрабатывать составляющие отдельно, затем собрать их обратно вместе.
Разложение на составляющие
- Любой вектор можно заменить двумя перпендикулярными компонентами — одним вдоль $x$, другим вдоль $y$.
- Вместе две составляющие имеют точно тот же эффект, что и исходный вектор.
- Выберите оси, которые делают задачу простой (часто горизонтальные и вертикальные).
- Составляющие имеют знаки, поэтому «влево» и «вниз» — это просто отрицательные значения.
Формулы компонент
- Для вектора $\vec A$ величиной $A$ под углом $\theta$ выше оси $x$:
- $A_x = A\cos\theta$ и $A_y = A\sin\theta$.
- Они выводятся непосредственно из прямоугольного треугольника, который вектор образует со своими компонентами.
- Возвращаясь назад: $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ и $\theta = \tan^{-1}\!\big(\tfrac{A_y}{A_x}\big)$.
Скорость $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ направлена под углом $37^\circ$ к горизонту. Ее горизонтальная компонента равна $10\cos 37^\circ$. При условии $\cos 37^\circ = 0.8$, чему равно $v_x$ в $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
$v_x = A\cos\theta = 10 \times 0.8 = 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Для той же скорости вертикальная компонента составляет $10\sin 37^\circ$. При $\sin 37^\circ = 0.6$, чему равно $v_y$ в $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
$v_y = A\sin\theta = 10 \times 0.6 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Вектор имеет компоненты $A_x = 3$ и $A_y = 4$. Каков его модуль?
$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Не $3+4=7$ — компоненты перпендикулярны друг другу.
Горизонтальная компонента вектора $A$ под углом $\theta$ равна $A$ ____ $\theta$.
Прилежащий катет прямоугольного треугольника равен $A\cos\theta$, следовательно $A_x = A\cos\theta$.
Сложение векторов через компоненты
- Чтобы сложить векторы, сложите $x$-компоненты и отдельно сложите $y$-компоненты.
- Никогда не складывайте модули напрямую — это работает только если они направлены одинаково.
- Суммы $(\Sigma A_x,\ \Sigma A_y)$ являются компонентами результирующего вектора.
- Объедините с помощью $\sqrt{\;}$ и $\tan^{-1}$, чтобы получить его величину и направление.
Сложите два вектора по компонентам
Перетащите два вектора и наблюдайте за результирующим — его компоненты являются суммами соответствующих частей.
Расставьте шаги для сложения двух векторов по компонентам, первый шаг — сверху.
Разложите, сложите покомпонентно, затем объедините модуль и направление.
Перпендикулярные движения независимы
- Движение по $x$ и движение по $y$ развиваются независимо друг от друга.
- Гравитация тянет только вниз, поэтому она изменяет $v_y$, но не затрагивает $v_x$.
- Эта независимость — весь секрет проективного движения (Тема 2).
- Уроните мяч и запустите другой горизонтально в один момент времени: они упадут одновременно.
Горизонтальные и вертикальные составляющие двумерного движения независимы друг от друга.
Перпендикулярные компоненты эволюционируют отдельно — гравитация изменяет $v_y$, но не $v_x$. Это основа баллистического движения.
Вы не можете сложить два вектора, просто сложив их величины, если они не направлены вдоль одной прямой. Единица вектора по $3$ плюс перпендикулярная единица вектора по $4$ даёт $5$, а не $7$ — сначала разложите на компоненты (или используйте треугольник).
Разложите скорость $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, направленную под углом $37^\circ$ над горизонтом (возьмите $\cos 37^\circ \approx 0.8$, $\sin 37^\circ \approx 0.6$).
- $v_x = 10\cos 37^\circ \approx 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- $v_y = 10\sin 37^\circ \approx 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Проверка: $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$. ✓
Разбейте 2-D вектор на перпендикулярные компоненты: $A_x = A\cos\theta$, $A_y = A\sin\theta$. Складывайте векторы, складывая отдельно $x$- и $y$-компоненты, затем объедините с помощью $A = \sqrt{A_x^2+A_y^2}$. Перпендикулярные движения независимы — ключ к проективному движению.