Радиус и интервал сходимости степенного ряда
Введено| English | Значение |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | степенной ряд |
| radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | радиус сходимости |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | интервал сходимости |
Where does a power series make sense?
- A power series 幂级数 is an infinite polynomial: $\sum c_n(x-a)^n$ — like a Taylor series with variable $x$.
- It converges for some $x$ and diverges for others. Which $x$?
- The answer is an interval centered at $a$, measured by the radius of convergence 收敛半径 $R$.
- Finding $R$ and the exact endpoints is the goal.
The radius of convergence
- A power series converges for $|x-a|<R$ and diverges for $|x-a|>R$.
- $R$ is the radius: the series converges within distance $R$ of the center $a$.
- Three possibilities: $R=0$ (only at $a$), $R=\infty$ (all $x$), or a finite $R$.
- Find $R$ with the Ratio Test on the terms of the series.
A power series converges within R of its centre; each endpoint must be tested separately
Интервал сходимости
Степенной ряд сходится внутри радиуса $R$ от своего центра — интервал идет от $a-R$ до $a+R$, концы проверяются отдельно.
Степенной ряд $\sum c_n(x-a)^n$ сходится при...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Внутри радиуса $R$ от центра $a$.
Радиус сходимости $R$ может быть...
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Радиус никогда не бывает отрицательным.
Getting R from the Ratio Test
- Apply the Ratio Test: set $\lim\big|\tfrac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\big|<1$ and solve for $|x-a|$.
- That inequality has the form $|x-a|<R$, revealing the radius directly.
- The center is $a$; the interval runs from $a-R$ to $a+R$.
- The ratio test does the heavy lifting — the algebra just isolates $|x-a|$.
Для $\sum\tfrac{x^n}{n}$ признак Д’Аламбера дает $|x|<1$. Чему равно $R$?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$R=1$.
Радиус сходимости обычно находится с помощью...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Признак Д’Аламбера для членов выявляет $|x-a|<R$.
Check the endpoints separately
- The Ratio Test is inconclusive at the endpoints $x=a\pm R$ (there $L=1$).
- So test each endpoint individually by plugging it in and using another series test.
- The interval of convergence 收敛区间 may include neither, one, or both endpoints.
- Write the interval with the correct open/closed brackets after checking both ends.
Признак Д’Аламбера не дает ответа на концах, их нужно проверять отдельно.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
В точке $x=a\pm R$ получаем $L=1$; используйте другой признак.
Для $\sum\tfrac{x^n}{n}$: $x=1$ расходится, $x=-1$ сходится. Интервал сходимости...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Включить $-1$ (сходится), исключить $1$ (расходится).
The Ratio Test gives the radius but is inconclusive at the endpoints — you must test $x=a-R$ and $x=a+R$ separately (they can converge or diverge independently). Don't assume the interval is open or closed; the answer might be $[a-R,a+R)$, $(a-R,a+R]$, etc. Check both ends every time.
Find the radius and interval of convergence of $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}$.
- Ratio Test: $\lim\big|\tfrac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\big|=|x|\cdot\lim\tfrac{n}{n+1}=|x|<1$, so $R=1$.
- Endpoints: $x=1\Rightarrow\sum\tfrac1n$ (diverges); $x=-1\Rightarrow\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ (converges).
- Interval of convergence: $[-1,1)$.
A power series $\sum c_n(x-a)^n$ converges for $|x-a|<R$, where $R$ is the radius of convergence (found via the Ratio Test). The interval of convergence is $a-R$ to $a+R$, with the endpoints tested separately (the ratio test is inconclusive there) to decide open vs. closed.