Длина дуги гладкой плоской кривой и пройденное расстояние
Введено| English | Значение |
|---|---|
| Arc length/ɑːk leŋθ/ | длина дуги |
Measuring the length of a curve
- Area and volume were integrals; so is the length of a curve itself.
- Arc length 弧长 adds up the lengths of tiny straight pieces along the curve.
- On each little piece, the curve is nearly a straight line — a hypotenuse of a small right triangle.
- Sum those hypotenuses (integrate) to get the total length.
From a small triangle to the formula
- A tiny piece has horizontal run $dx$ and vertical rise $dy=f'(x)\,dx$.
- Its length is $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ (Pythagoras).
- Add them from $a$ to $b$:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$$
Each small piece of a curve is the hypotenuse of a dx-by-dy triangle
Кривая длиннее своей хорды
y = a·x^{1.5}
Длина дуги суммирует малые гипотенузы ⟨$\sqrt{1+(f')^2}\,dx$⟩ — всегда не менее горизонтального расстояния ⟨$b-a$⟩.
Длина дуги функции ⟨$y=f(x)$⟩ на отрезке ⟨$[a,b]$⟩ равна...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Возведите производную в квадрат, прибавьте 1, извлеките корень.
Using the formula
- Compute $f'(x)$, square it, add $1$, take the square root, and integrate over $[a,b]$.
- The integrand is always $\ge1$, so arc length is at least the horizontal distance $b-a$ (a curve is longer than the straight line).
- Many arc-length integrals are hard by hand; on the BC exam you often set them up and evaluate numerically.
- The key skill is building the integrand correctly from $f'$.
Для функции ⟨$y=\tfrac23 x^{3/2}$⟩ и отрезка ⟨$f'(x)=x^{1/2}$⟩ подынтегральное выражение длины дуги выглядит так...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$(f')^2=x$, следовательно, $\sqrt{1+x}$.
Вычислите значение ⟨$\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx$⟩ (десятичное число).
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}\approx4.667$.
Поскольку подынтегральная функция является $\ge 1$, длина дуги всегда не менее...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Кривая не короче прямолинейного участка.
Arc length as distance traveled
- If a particle moves along $y=f(x)$, the arc length is the distance it travels along the path.
- (For motion given by $x(t),y(t)$, the parametric version comes in lesson 9.3.)
- So this same integral measures both a curve's geometric length and a path's traveled distance.
- Setup is identical; only the interpretation changes.
Подынтегральное выражение длины дуги использует производную ⟨$f'(x)$⟩, а не ⟨$f(x)$⟩.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Это $\sqrt{1+(f'(x))^2}$.
Вдоль траектории ⟨$y=f(x)$⟩ длина дуги также измеряет пройденное ____ расстояние.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Длина дуги = расстояние, пройденное вдоль пути.
The integrand is $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ — the derivative is squared, and there's a $\boldsymbol{+1}$ inside the root, not outside. Don't write $\sqrt{1+f(x)^2}$ (using $f$ instead of $f'$) or forget the $+1$. And the whole thing is under one square root before integrating.
Set up the arc length of $y=\tfrac23 x^{3/2}$ from $x=0$ to $x=3$.
- $f'(x)=x^{1/2}$, so $\big(f'(x)\big)^2=x$.
- $L=\displaystyle\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx=\Big[\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big]_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}$.
The arc length of $y=f(x)$ on $[a,b]$ is $L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ — summing tiny hypotenuses $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$. Square the derivative, add $1$ inside the root, integrate. It also gives the distance traveled along the path.