Объемы с поперечными сечениями: квадраты и прямоугольники
Введено| English | Значение |
|---|---|
| cross sections/krɒs ˈsekʃnz/ | поперечные сечения |
Stacking up thin slabs into a solid
- Integration also finds volumes, not just areas — by adding up thin slices of a solid.
- Slice a solid perpendicular to an axis; each slice is a thin slab of some cross-sectional area $A(x)$.
- Add them up: $V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$ — the integral of the cross-sectional area.
- This lesson covers solids whose cross sections 横截面 are squares or rectangles.
The general volume formula
- If the cross section at $x$ has area $A(x)$ and thickness $dx$, its tiny volume is $A(x)\,dx$.
- Sum over the solid: $$V=\int_a^b A(x)\,dx$$
- Everything reduces to: write the cross-sectional area as a function of $x$, then integrate.
- The hard part is the geometry of one slice, not the calculus.
Square cross sections on a base region: add the slice areas A(x) along the x-axis
Объем тела с площадью поперечного сечения $A(x)$ равен...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Сложите слои $A(x)\,dx$.
Чтобы использовать $V=\int_a^b A(x)\,dx$, срезы поперечного сечения должны быть...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Срезы перпендикулярны оси, вдоль которой вы интегрируете.
Square cross sections
- A common setup: cross sections are squares with base sitting on the region between two curves.
- If the base length is $s(x)$ (often $f(x)-g(x)$, the gap between curves), a square's area is $s(x)^2$.
- So $V=\displaystyle\int_a^b \big(s(x)\big)^2\,dx$.
- The base of each square spans the region; its area is base-squared.
Основная область под √x
y = a·√x
Каждый квадратный срез лежит на основании; его сторона равна высоте $\sqrt{x}$, следовательно, его площадь равна $(\sqrt{x})^2=x$.
Для квадратных поперечных сечений с основанием $s(x)$ площадь равна...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Квадрат со стороной $s$ имеет площадь $s^2$.
Длина основания поперечного сечения часто представляет собой расстояние между граничными кривыми, $f(x)-g(x)$.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Основание охватывает область между кривыми.
Rectangular cross sections
- For rectangles, the area is base $\times$ height: $A(x)=s(x)\cdot h(x)$.
- The height might be a fixed multiple of the base, or given separately in the problem.
- $V=\displaystyle\int_a^b s(x)\,h(x)\,dx$.
- Read the problem carefully to get the height rule right.
Основание под $y=\sqrt x$ на $[0,4]$, квадратные поперечные сечения: $A(x)=x$. Найдите $V=\int_0^4 x\,dx$.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4=8$.
Для прямоугольных поперечных сечений: площадь = основание ____ высота.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$A=s\cdot h$ для прямоугольника.
The base length $s(x)$ is usually the distance between the boundary curves ($f(x)-g(x)$) or between a curve and an axis — figure out what spans the base before squaring. For squares, the area is $s(x)^2$ (don't forget to square the whole gap). Slices must be perpendicular to the axis you integrate along.
A solid has base the region under $y=\sqrt{x}$ from $x=0$ to $4$, with square cross sections perpendicular to the $x$-axis.
- The base of each square is $s(x)=\sqrt{x}$ (curve to $x$-axis).
- Cross-sectional area: $A(x)=(\sqrt{x})^2=x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8$.
A solid's volume is $V=\int_a^b A(x)\,dx$, the integral of its cross-sectional area. For square cross sections with base $s(x)$, $A(x)=s(x)^2$; for rectangles, $A(x)=s(x)\cdot h(x)$. Find the base $s(x)$ (often the gap between curves), write $A(x)$, and integrate.