Объемы с поперечными сечениями: Треугольники и полукруги
ВведеноSame idea, different slice shapes
- The volume recipe $V=\int_a^b A(x)\,dx$ works for any cross-section shape — you just need $A(x)$.
- Beyond squares, the AP loves triangular and semicircular cross sections.
- The only new step is the right area formula for that shape, written in terms of the base.
- Get $A(x)$ from geometry, then integrate as before.
Triangular cross sections
- For an equilateral triangle of side $s$: area $=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$.
- For a right isosceles triangle with legs $s$: area $=\dfrac12 s^2$; a general triangle: $\tfrac12\,\text{base}\times\text{height}$.
- Use the base length $s(x)$ (the gap the slice spans) in the correct triangle-area formula.
- $A(x)=(\text{shape constant})\cdot s(x)^2$, then integrate.
Semicircular cross sections on the same base: only the area formula A(x) changes
Основание, чьи срезы изменяются
y = a·√x
Одна и та же базовая область дает разные объемы в зависимости от формы срезов — меняется только константа площади, умноженная на $s(x)^2$.
Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ равна...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Равносторонний треугольник: $\frac{\sqrt3}{4}s^2$.
Соотнесите каждую форму поперечного сечения с его константой площади (умноженной на $s^2$).
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Каждая площадь равна своей константе, умноженной на квадрат основания.
Semicircular cross sections
- A semicircle with diameter $s$ has radius $\dfrac{s}{2}$, so its area is $\dfrac12\pi\Big(\dfrac{s}{2}\Big)^2=\dfrac{\pi}{8}s^2$.
- The base of the slice is the diameter, so halve it to get the radius before squaring.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}\big(s(x)\big)^2$.
- Watch that factor: diameter $\to$ radius is a divide-by-two that's easy to skip.
У полукруглого поперечного сечения диаметр лежит на основании $s(x)$. Его радиус равен...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Основание является диаметром, поэтому радиус равен половине.
Для полукруга, у которого диаметр является основанием $s$, перед возведением в квадрат нужно разделить $s$ пополам, чтобы получить радиус.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Радиус равен $=s/2$; забывание об этом — распространенная ошибка.
It's always "area in terms of the base"
- Every one of these is $A(x)=(\text{constant depending on shape})\times s(x)^2$.
- Square $\to 1$; equilateral triangle $\to \tfrac{\sqrt3}{4}$; semicircle $\to \tfrac{\pi}{8}$; right isosceles $\to \tfrac12$.
- Find the base $s(x)$ from the region, plug into the shape's area, and integrate.
- The calculus is identical; only the leading constant changes.
Основание под $y=\sqrt x$ на $[0,4]$, полукруглые срезы: $A(x)=\tfrac{\pi}{8}x$. Затем $V=$
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\tfrac{\pi}{8}\int_0^4 x\,dx=\tfrac{\pi}{8}\cdot8=\pi$.
Каждый объем с поперечным сечением равен $\int_a^b A(x)\,dx$, где $A(x)$ = (константа формы) $\times s(x)$ ____.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Площади масштабируются как квадрат основания.
For a semicircle, the slice's base is the diameter, so the radius is $\frac{s}{2}$ — don't square the whole base as if it were the radius. And match the triangle formula to the type stated (equilateral vs. right isosceles); they have different constants. The base $s(x)$ is still the gap the slice spans.
Base is the region under $y=\sqrt x$ on $[0,4]$; cross sections are semicircles with diameter on the base.
- Diameter $s(x)=\sqrt x$, so radius $=\dfrac{\sqrt x}{2}$.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}(\sqrt x)^2=\dfrac{\pi}{8}x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 \dfrac{\pi}{8}x\,dx=\dfrac{\pi}{8}\cdot 8 = \pi$.
For triangular or semicircular cross sections, use $V=\int_a^b A(x)\,dx$ with the shape's area: equilateral triangle $\frac{\sqrt3}{4}s^2$, right isosceles $\frac12 s^2$, semicircle $\frac{\pi}{8}s^2$ (base $=$ diameter, so radius $=\frac s2$). Find the base $s(x)$ and integrate.