Нахождение площади между кривыми, пересекающимися более чем в двух точках
Введено| English | Значение |
|---|---|
| subintervals/ˌsʌbɪnˈtɜːvlz/ | подотрезки |
When the curves keep crossing
- Sometimes two curves cross more than twice, and the "top" curve swaps along the way.
- A single top-minus-bottom integral would then get the sign wrong on part of the region.
- The fix: split the region at each crossing and integrate each piece separately.
- Add the pieces' (positive) areas to get the total.
Find every intersection first
- Solve $f(x)=g(x)$ completely — find all the crossing points on the interval, not just the outer two.
- These crossings are the boundaries of the subintervals 子区间 where the ordering is fixed.
- Order them left to right along the $x$-axis.
- Each adjacent pair of crossings frames one piece of the region.
When curves cross more than twice, split at each crossing so every piece is top minus bottom
Кубическая пересекает прямую 3 раза
y = ax³ + bx
$y=x^3$ и $y=x$ пересекаются в точках $-1,0,1$; верхняя кривая меняется в точке $0$, поэтому площадь состоит из двух частей.
Где пересекаются $y=x^3$ и $y=x$?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$x^3=x\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0$.
Точки пересечения делят область на ____, где порядок фиксирован.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
На каждом подынтервале одна кривая последовательно находится сверху.
Split where top and bottom switch
- On each subinterval, one curve is consistently on top — test a point to see which.
- Set up a separate integral of (upper $-$ lower) for each subinterval, using the correct top curve there.
- Because the top curve switches between pieces, the integrands differ from piece to piece.
- The full area is the sum of these separate integrals.
Вы разбиваете область в каждой точке пересечения, потому что...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
В местах смены кривых часть области была бы посчитана со знаком минус.
Использование одного интеграла от $f-g$ на всем диапазоне пересечений (смена кривых) дает...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Учет знаков занижает истинную площадь.
Add the absolute areas
- Each subinterval integral, done with the correct top-minus-bottom, is positive.
- Sum them: $A=\displaystyle\sum \int_{\text{piece}} (\text{upper}-\text{lower})\,dx$.
- Equivalently, $A=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ — the absolute gap, integrated.
- Both viewpoints give the same total geometric area.
Для $y=x^3$ и $y=x$ на интервале $[-1,1]$ каждая часть имеет площадь $\tfrac14$. Найдите общую площадь.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
Интегрирование $|f(x)-g(x)|$ на всем интервале дает ту же общую площадь, что и разбиение.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Модуль автоматически учитывает смену знака.
Do not use one integral of $f-g$ across all crossings — where the curves swap, part of the region contributes a negative value and cancels real area. You must split at every intersection and take upper-minus-lower correctly on each piece (or integrate $|f-g|$). Find all the crossings, not just the endpoints.
Area between $y=x^3$ and $y=x$ on $[-1,1]$.
- Crossings: $x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x=-1,0,1$ — three points.
- On $(-1,0)$: $x^3>x$ (test $-0.5$). On $(0,1)$: $x>x^3$ (test $0.5$). The top curve switches at $0$.
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
When curves intersect more than twice, find all intersection points, split the region into subintervals, and integrate upper minus lower on each (the top curve switches between them). Sum the pieces — equivalently, integrate $|f(x)-g(x)|$. One straight integral of $f-g$ would wrongly cancel area.