Использование функций накопления и определенных интегралов в прикладных контекстах
Введено| English | Значение |
|---|---|
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | определённый интеграл |
Start here, add the change, land there
- Many applied problems give a rate and a starting amount, and ask for a later total.
- The key relationship: final value = initial value + accumulated change.
- The accumulated change is the definite integral of the rate over the interval.
- This one idea powers tanks, populations, accounts, and more.
The accumulation formula
- If $R(t)$ is the rate and $Q$ the quantity, then:
-
$$Q(b)=Q(a)+\int_a^b R(t)\,dt$$
- Start with $Q(a)$, add the net accumulated change $\displaystyle\int_a^b R(t)\,dt$, arrive at $Q(b)$.
- It's the FTC in applied clothing: the integral of a rate is the net change of its quantity.
The area under a rate graph is the total amount accumulated
Накопленный приток — это площадь
y = 4t (скорость притока)
Площадь под кривой притока $R(t)$ равна добавленной воде; общее количество равно начальному объему плюс эта площадь.
Прикладная связь накопления выглядит так: конечное значение = ...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Конечное = начальное + накопленное изменение.
Чтобы найти конечный объем, добавьте накопленное изменение к значению ____.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Конечное = начальное + интеграл от скорости.
Reading the context and units
- A definite integral 定积分 of a rate has units of (rate units)$\times$(time) = the quantity's units.
- $\int$ of litres/min over minutes gives litres; $\int$ of people/year over years gives people.
- The sign matters: a negative rate (draining, cooling) subtracts from the total.
- Always interpret the integral in the problem's own words and units.
Бак содержит $50$ л; вода поступает со скоростью $R(t)=4t$ в течение времени $0\le t\le 3$ ($\int_0^3 4t\,dt=18$). Найдите общий объем в момент $t=3$.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$50+18=68$ L.
Если $R$ выражено в литрах/мин, а $t$ — в минутах, то размерность $\int R\,dt$ равна...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
(литры/мин) × (мин) = литры.
Net vs. gross change
- The integral $\int_a^b R\,dt$ is the net change — inflow minus outflow.
- If a tank is filled and drained, the net integral accounts for both automatically.
- To find total added or total removed separately, integrate only the positive or negative parts.
- But "final = initial + net accumulated change" always uses the plain signed integral.
Определенный интеграл от скорости дает изменение, а не итоговый объем сам по себе.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Вы должны прибавить начальное значение.
Для скорости оттока (слива) интеграл на интервале будет...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Скорость оттока отрицательна → уменьшает объем.
Don't report the integral alone as the final amount — it's only the change. You must add the initial value: final $=$ initial $+\int_a^b R\,dt$. And keep the sign of the rate: an outflow rate is negative, so its integral correctly subtracts from the starting total.
A tank holds $50$ L at $t=0$. Water flows in at $R(t)=4t$ L/min for $0\le t\le 3$. How much at $t=3$?
- Accumulated change: $\displaystyle\int_0^3 4t\,dt=\Big[2t^2\Big]_0^3=18$ L.
- Final $=$ initial $+$ change $=50+18=68$ L.
- (The integral $18$ is the added water; $68$ is the total.)
In applied contexts, final value = initial value + accumulated change, where the change is the definite integral of the rate: $Q(b)=Q(a)+\int_a^b R(t)\,dt$. The integral carries the quantity's units and its sign (inflow adds, outflow subtracts). Never forget to add the initial value.