Нахождение площади между кривыми, заданными как функции x
Введено| English | Значение |
|---|---|
| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | площадь между двумя кривыми |
The area trapped between two curves
- A single integral gives the area between a curve and the $x$-axis. What about the area between two curves?
- Slice the region into thin vertical strips; each strip's height is the gap between the curves.
- Add up (integrate) those heights across the interval — that's the area between two curves 曲线间面积.
- The recipe is "top minus bottom, integrated."
Top minus bottom
- If $f$ is the upper curve and $g$ the lower on $[a,b]$:
-
$$A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
- Each vertical strip has height $f(x)-g(x)$ and width $dx$.
- Always subtract upper minus lower, so the height (and the area) stays positive.
Area between curves: integrate top curve minus bottom curve from a to b
Прямая над параболой
y = ax² + bx + c
Между точками пересечения прямая находится выше параболы — вертикальное расстояние, проинтегрированное, равно замкнутой площади.
Площадь между верхней кривой $f$ и нижней кривой $g$ на интервале $[a,b]$ равна...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Верхняя минус нижняя, интегрированная.
Find the limits from intersections
- The bounds $a$ and $b$ are usually where the curves cross — set $f(x)=g(x)$ and solve.
- Those intersection $x$-values are the left and right edges of the enclosed region.
- Between them, decide which curve is on top (test a point).
- Then integrate the top-minus-bottom difference over $[a,b]$.
Где пересекаются $y=x+2$ и $y=x^2$?
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
Чтобы определить, какая кривая находится сверху между точками пересечения, вы...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Подставьте контрольную точку, чтобы увидеть, какая из них выше.
Пределы интегрирования получаются путем приравнивания двух кривых ____.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Решите уравнение $f(x)=g(x)$ относительно значений пересечения $x$.
It works even below the axis
- Because you take upper minus lower, the formula handles regions below the $x$-axis automatically.
- The $-g(x)$ term lifts everything, so no separate "signed area" bookkeeping is needed.
- A region entirely under the axis still gives a positive area with top-minus-bottom.
- That's the advantage of the gap-height approach.
Площадь между $y=x+2$ и $y=x^2$ равна $\int_{-1}^2 (x+2-x^2)\,dx$. Вычислите её (в виде десятичной дроби).
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Интеграл равен $\tfrac92=4.5$.
Интегрирование (нижняя − верхняя) дает отрицательное значение истинной площади.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Изменение порядка меняет знак.
Always subtract upper minus lower — if you reverse it, you get a negative of the true area. Check which curve is on top by testing an $x$-value between the intersections (they can swap, which is the next lesson). And the limits come from setting the curves equal, not from the $x$-axis.
Find the area between $y=x+2$ and $y=x^2$.
- Intersections: $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
- On $(-1,2)$ the line is on top (test $x=0$: line $=2>0=$ parabola).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^2\big)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}+2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{9}{2}$.
The area between two curves (functions of $x$) is $A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$, integrating upper minus lower over vertical strips. Find $a,b$ where the curves intersect, decide which is on top, and integrate the gap. Top-minus-bottom keeps the area positive automatically.