Связь положения, скорости и ускорения функций с помощью интегралов
Введено| English | Значение |
|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | положение |
| Displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | перемещение |
Motion, now run through integrals
- Unit 4 went position → velocity → acceleration by differentiating. Integration goes backward.
- Integrate acceleration to recover velocity; integrate velocity to recover position 位置.
- Each step adds up a rate to get the quantity it changes.
- So integrals rebuild the motion story from the rates.
Чтобы восстановить положение из скорости, вы...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Положение $=$ начальное $+\int v\,dt$.
Going up the chain
- Velocity from acceleration: $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$.
- Position from velocity: $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$.
- Each needs an initial value (the constant of integration in disguise).
- Integrate the rate, then add where you started.
Teacher-created velocity model: signed areas distinguish displacement 位移 and distance.
Восстановление положения из скорости требует значения ____ для определения константы.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Положение $=$ начальное положение $+\int v\,dt$.
Displacement vs. distance
- Displacement over $[a,b]$ is the signed integral of velocity: $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ — net change in position.
- Total distance is the integral of speed $|v|$: $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ — it never subtracts.
- If the object turns around, displacement and distance differ.
- Displacement can be zero after real motion; distance cannot (unless it never moved).
Знаковая площадь под графиком скорости
y = t − 2 (скорость)
Знаковая площадь под $v(t)$ равна перемещению; взятие модуля на каждом участке (разбиение в точке $v=0$) дает пройденный путь.
Для $v(t)=t-2$ на интервале $[0,3]$ найдите перемещение $\int_0^3 (t-2)\,dt$.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\tfrac92-6=-\tfrac32$.
Перемещение может быть нулем, даже когда объект фактически двигался.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Туда-обратно дает нулевое суммарное перемещение, но положительный путь.
Distance means splitting at the turns
- To get total distance, find where $v=0$ (the turning points) and integrate $|v|$ piece by piece.
- On each piece $v$ keeps one sign, so $|v|$ is just $\pm v$ there.
- Add the absolute areas of the pieces — no cancellation.
- This "split at $v=0$" step is exactly what makes distance $\neq$ displacement.
Для $v(t)=t-2$ на интервале $[0,3]$ полный путь равен $\int_0^3 |t-2|\,dt$. Вычислите его.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Разбить в точке $t=2$: $2+\tfrac12=\tfrac52$.
Общий пройденный путь за промежуток $[a,b]$ равен...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Проинтегрируйте скорость $|v|$; разбивка в точках поворота обязательна.
Displacement ($\int v\,dt$) is signed and can be zero even after moving; total distance ($\int|v|\,dt$) is never negative. To get distance, split the interval where $v=0$ and add the absolute values — do not just integrate $v$ and take its absolute value at the end. And recovering position/velocity needs the initial value.
A particle has $v(t)=t-2$ (m/s) on $[0,3]$. Find displacement and total distance.
- Displacement: $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ m.
- $v=0$ at $t=2$: negative on $[0,2)$, positive on $(2,3]$.
- Distance: $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ m.
Integrals rebuild motion: velocity $=$ initial $+\int a\,dt$, position $=$ initial $+\int v\,dt$. Displacement over $[a,b]$ is the signed $\int_a^b v\,dt$; total distance is $\int_a^b|v|\,dt$ — split at the turning points ($v=0$) and add absolute values.