Нахождение общих решений методом разделения переменных
Введено| English | Значение |
|---|---|
| separable/ˈsepərəbl/ | разделяемые |
Get the $x$'s and $y$'s on opposite sides
- To actually solve a differential equation (not just sketch it), we integrate — but first we sort the variables.
- A differential equation is separable 可分离 if you can write it so one side has only $y$ and the other only $x$.
- $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ is the tell-tale form: a product of an $x$-part and a $y$-part.
- Then each side can be integrated on its own.
Какое уравнение разделяемое?
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$xy$ раскладывается как произведение ($x$-часть)$\times$($y$-часть); сумма так не раскладывается.
$\dfrac{dy}{dx}=x+y$ не является разделяемым, потому что нельзя разделить ____.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Разделение требует произведения, а не суммы.
Separate the variables
- Treat $\dfrac{dy}{dx}$ as a ratio of differentials and move each variable to its own side.
- From $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$: divide by $h(y)$ and multiply by $dx$:
-
$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$$
- Now each side involves only one variable and its differential — ready to integrate.
E. coli under a microscope: differential equations model exponential growth
Разделение $\dfrac{dy}{dx}=xy$ дает...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Разделите на $y$, умножьте на $dx$: $\tfrac1y\,dy=x\,dx$.
Integrate both sides
- Integrate the left in $y$ and the right in $x$: $\displaystyle\int\frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx$.
- Add a single constant $+C$ (one is enough — combine both sides' constants).
- Then solve for $y$ if you can, to get the general solution.
- The result is a family of functions with the constant $C$.
Общее решение — это семейство
Решение $\tfrac{dy}{dx}=ay$ дает $y=Ce^{ax}$ — одна кривая на каждую константу, все подходят к одному полю.
Интегрирование $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$ дает...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
$\int\tfrac1y\,dy=\ln|y|$; $\int x\,dx=\tfrac{x^2}{2}$; добавьте $+C$.
Keep the $+C$ (and solve for $y$)
- The constant of integration is what makes this a family — never drop it.
- Often you'll exponentiate or rearrange to isolate $y$; the $C$ transforms but stays.
- Leaving the answer as an implicit relation is fine if $y$ can't be cleanly isolated.
- A later initial condition (lesson 7.7) will nail down $C$.
При решении дифференциального уравнения методом разделения необходимо добавить константу $+C$.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Константа $+C$ дает общее (семейство) решений.
Общее решение для $\dfrac{dy}{dx}=xy$ равно...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Возведите в экспоненту $\ln|y|=\tfrac{x^2}{2}+C$, чтобы получить $y=A e^{x^2/2}$.
Separation works only if the equation factors as (function of $x$) $\times$ (function of $y$). Something like $\frac{dy}{dx}=x+y$ is not separable — you can't split a sum. And don't forget the $+C$ after integrating: without it you have one curve, not the general family.
Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ (general solution).
- Separate: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$.
- Integrate: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2}+C$.
- Exponentiate: $y = e^{x^2/2+C}=A\,e^{x^2/2}$ (writing $A=e^C$). General solution: $y=A\,e^{x^2/2}$.
Separation of variables solves a separable equation $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$: rearrange to $\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx$, integrate both sides (one $+C$), and solve for $y$ to get the general solution. It only works when the equation factors into an $x$-part times a $y$-part.