Моделирование ситуаций с помощью дифференциальных уравнений
Введено| English | Значение |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | дифференциальное уравнение |
Equations that describe change itself
- Many real laws describe not a quantity, but how fast it changes.
- A differential equation 微分方程 relates a function to its derivatives.
- "Population grows at a rate proportional to its size" becomes $\dfrac{dP}{dt}=kP$.
- Solving it recovers the function; this unit is about writing and solving such equations.
Поле направлений для уравнения скорости
Уравнение $\tfrac{dy}{dt}=ky$ говорит, что скорость пропорциональна $y$ — его поле направлений показывает моделируемый им рост.
Дифференциальное уравнение связывает функцию с её...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Оно включает саму функцию и её производные.
Translating words into a rate equation
- The phrase "the rate of change of $y$" is $\dfrac{dy}{dt}$ — the left side of your equation.
- "proportional to $y$" → $ky$; "proportional to the difference from $M$" → $k(M-y)$.
- Match the English description of the rate to an expression in $y$ (and maybe $t$).
- The whole model is: (rate of change) = (that expression).
A cooling cup of coffee: Newton's law of cooling is a classic differential equation model
"Скорость изменения $y$ пропорциональна $y$" превращается в...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Скорость изменения $\frac{dy}{dt}$ = $k$ умножить на $y$.
Вода стекает со скоростью, пропорциональной количеству $W$. Модель имеет вид...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Стекание означает уменьшение → отрицательная скорость: $-kW$.
Common modeling phrases
- Proportional to the amount: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — exponential growth/decay.
- Proportional to the amount present and remaining: $\dfrac{dy}{dt}=ky(M-y)$ — logistic-type.
- Constant rate: $\dfrac{dy}{dt}=c$.
- Reading the phrase tells you the right-hand side.
Соотнесите каждую фразу с её выражением скорости.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Прочитайте фразу, чтобы построить правую часть.
A differential equation has a family of solutions
- Unlike an algebraic equation (one unknown number), a differential equation has an unknown function.
- Its solution is usually a family of functions (with a constant), not a single answer.
- A specific member is pinned down later by an initial condition (lesson 7.7).
- For now, the goal is just to write the equation from the situation.
$y=kt$ (без производной) является дифференциальным уравнением.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Дифференциальное уравнение обязательно должно включать производную.
Решением дифференциального уравнения обычно является ____ функций, а не одна конкретная.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Константа остается, пока начальное условие не зафиксирует её значение.
A differential equation involves a derivative — it's a statement about a rate, not the quantity itself. "$y$ is proportional to $t$" ($y=kt$) is not a differential equation; "the rate of change of $y$ is proportional to $y$" ($\frac{dy}{dt}=ky$) is. Look for the "rate of change" language.
"A tank's water drains at a rate proportional to the amount of water $W$." Write the model.
- Rate of change of $W$: $\dfrac{dW}{dt}$.
- Proportional to $W$, and draining (decreasing) → $\dfrac{dW}{dt}=-kW$ (with $k>0$).
- The negative sign encodes that the water is decreasing.
A differential equation relates a function to its derivatives — it models a rate of change. Translate the words: "rate of change of $y$" is $\frac{dy}{dt}$, "proportional to $y$" is $ky$, and so on. Its solution is a family of functions, pinned down later by an initial condition.