Выбор методов антидифференцирования
Введено| English | Значение |
|---|---|
| antidifferentiation/ˌæntɪˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | нахождение первообразной |
Which antiderivative tool fits?
- You now have several ways to integrate — the skill is choosing the right technique fast.
- Antidifferentiation 求原函数 has no single algorithm, so you read the integrand's structure.
- A quick triage points you to a basic rule, a substitution, or an algebraic rewrite.
- This lesson is the decision guide that ties the integration methods together.
Прочитайте подынтегральное выражение, выберите метод
y = ax³ + bx
То, является ли подынтегральное выражение простой степенью, сложной функцией или неправильной дробью, определяет, какой инструмент антидифференцирования использовать.
First: does a basic rule fit directly?
- Is the integrand a power, or one of the standard forms ($\sin, \cos, e^x, \tfrac1x$)?
- If so, apply the basic rule and add $+C$ — no tricks needed.
- $\displaystyle\int (x^3+\cos x)\,dx$ is just term-by-term basic antiderivatives.
- Always try this first; it's the fastest path.
Какой метод самый быстрый для $\int (3x^2+e^x)\,dx$?
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Оба слагаемых являются стандартными первообразными → базовые правила.
Next: is there an inner function with its derivative?
- Spot a composite with its inner derivative present → u-substitution.
- $\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx$: inner $u=x^2$, and $2x\,dx=du$ is right there.
- If $du$ is off by a constant, adjust; if the inner derivative is truly absent, u-sub won't help.
- This handles the large class of chain-rule-shaped integrals.
Какой интеграл лучше всего решать заменой переменной u?
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Сложная функция с её внутренней производной ($u=x^2+1$, $du=2x\,dx$) → замена u.
Выберите все правильные сигналы методов.
Сложность 2/5 · 140 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Замена u не универсальна — подбирайте метод к структуре.
Otherwise: rewrite the algebra first
- No basic rule and no clean substitution? Rewrite the integrand.
- Improper rational fraction → long division; irreducible quadratic denominator → complete the square.
- Expand a product, split a fraction into separate terms, or simplify — then re-triage.
- After the rewrite, a basic rule or u-sub usually finishes it.
Первый шаг для $\int\dfrac{x^2}{x-1}\,dx$ — это...
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Степень числителя ≥ степени знаменателя → сначала выполните деление.
Вы можете проверить любую первообразную, продифференцировав её обратно до подынтегрального выражения.
Сложность 1/5 · 100 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Дифференцирование вашего ответа должно вернуть $f$.
Расположите методы от первого к последнему, которые стоит попробовать.
Сложность 3/5 · 200 монет + небольшой бонус за первое выполнение сегодня
Базовое правило, затем замена u, затем преобразование.
Don't reach for a heavy technique before checking the easy ones. Try a basic rule first, then u-substitution, and only then an algebraic rewrite. And confirm every antiderivative by differentiating it back to the integrand — that catches most mistakes on the spot.
Choose a method for each, then note the first step:
- $\displaystyle\int (3x^2 + e^x)\,dx$: basic rules → $x^3+e^x+C$.
- $\displaystyle\int x\,\sqrt{x^2+1}\,dx$: u-sub ($u=x^2+1$, $du=2x\,dx$).
- $\displaystyle\int \dfrac{x^2}{x-1}\,dx$: long division first (improper fraction).
Selecting an antidifferentiation technique: try a basic rule first; if the integrand is a composite with its inner derivative, use u-substitution; otherwise rewrite the algebra (long division / completing the square / expanding) and re-triage. Always verify by differentiating your answer.