Приближение значений с использованием локальной линейности и линеаризации
Введено| English | Значение |
|---|---|
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | касательная |
| local linearity/ˈləʊkl lɪˈnɪərɪti/ | локальная линейность |
| linearization/ˌlɪnɪəraɪˈzeɪʃn/ | линеаризация |
При достаточном увеличении кривая выглядит прямой
- Выберите любую гладкую кривую, приблизьте один участок, и она превратится в (почти) прямую линию.
- Эта линия называется касательной, и вблизи точки она плотно прилегает к кривой.
- Таким образом, касательная — отличная аппроксимация функции вблизи этой точки; это явление называется локальной линейностью.
- Оно позволяет оценивать сложные значения функции, зная лишь наклон и точку.
Касательная прилегает к кривой
y = √x
Вблизи точки касания прямая и кривая почти совпадают — эта близость объясняет, почему $L(x)$ приближенно равно $f(x)$.
Идея о том, что гладкая кривая выглядит прямой вблизи точки, называется локальной ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Локальная линейность лежит в основе приближения касательной прямой.
Построение касательной линии
- Касательная в точке $x=a$ проходит через точку $\big(a,f(a)\big)$ с наклоном $f'(a)$.
- Формула точки-наклона дает линеаризацию:
-
$$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$
- Эта формула $L(x)$ — это просто переименованная касательная как формула приближения.
Линеаризация функции $f$ в точке $a$ равна $L(x)=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Уравнение касательной в точечной форме: $f(a)+f'(a)(x-a)$.
Аппроксимация близкого значения
- Чтобы оценить $f(x)$ для значения $x$, близкого к $a$, вычислите $L(x)$ вместо него — обычно это простая арифметика.
- Выберите $a$ так, чтобы nearby точка имела простые значения $f(a)$ и $f'(a)$ («удобное» число).
- Чем ближе $x$ к $a$, тем точнее аппроксимация.
- Пример: чтобы оценить $\sqrt{4.1}$, используйте $f(x)=\sqrt x$ при значении $a=4$, где $f(4)=2$ чистое.
Используя $L(x)=2+\tfrac14(x-4)$, оцените $\sqrt{4.1}=L(4.1)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2+\tfrac14(0.1)=2.025$.
Завышение или занижение? Спросите о выпуклости
- Касательная лежит с одной стороны от изогнутого графика, поэтому $L(x)$ смещается в одну сторону.
- Выпуклость вниз (кривая изгибается вверх, $f''>0$): касательная находится ниже кривой → $L$ является занижением.
- Выпуклость вверх ($f''<0$): касательная находится выше кривой → $L$ является завышением.
- Проверка знака $f''$ покажет, в какую сторону ошибается ваша аппроксимация.
Если функция $f$ выпукла вниз (concave down) вблизи точки $a$, оценка по касательной $L(x)$ является...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Выпуклость вниз → касательная выше кривой → переоценка.
Линеаризация наиболее точна для входных данных, далеких от точки касания.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Она наиболее точна рядом с точкой; точность снижается по мере удаления.
Выберите все правильные выводы о недооценке/переоценке.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Вверх → касательная ниже → недооценка; вниз → касательная выше → переоценка; оба определяются знаком $f''$.
Линеаризация точна только возле точки касания — далеко от точки $a$ прямая отклоняется от кривой. Выбор между переоценкой или недооценкой зависит от выпуклости: выпукłość вверх (concave up) → касательная ниже кривой → недооценка; выпуклость вниз (concave down) → переоценка. Не гадайте о направлении; проверьте знак второй производной $f''$.
Оцените $\sqrt{4.1}$, используя линеаризацию в точке $a=4$.
- $f(x)=\sqrt x=x^{1/2}$, следовательно $f'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt x}$; $\;f(4)=2$, $\;f'(4)=\tfrac14$.
- $L(x)=2+\tfrac14(x-4)$, следовательно $L(4.1)=2+\tfrac14(0.1)=2.025$.
- Поскольку $\sqrt x$ выпукла вниз ($f''<0$), это небольшое переоценка (истинное значение $\approx2.0248$).
Локальная линейность позволяет касательной линии аппроксимировать функцию вблизи точки. Линеаризация задана формулой $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$; используйте её для оценки $f(x)$ при значении $x$, близком к $a$. Выпуклость определяет направление ошибки: выпуклость вниз → занижение, выпуклость вверх → заваливание.