Использование правила Лопиталя для определения пределов неопределенностей
Введено| English | Значение |
|---|---|
| L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/ | правило Лопиталя |
| indeterminate forms/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːmz/ | неопределённые формы |
Трюк с производной для упорных пределов
- Ранее в Разделе 1 выражение $\tfrac00$ означало «упростить алгебраически». Иногда алгебраические преобразования не помогают.
- Правило Лопиталя использует производные, чтобы решить эти упорные пределы.
- Оно применяется к неопределенным формам $\tfrac00$ и $\tfrac{\infty}{\infty}$.
- Идея: заменить отношение функций отношением их производных.
Сначала проверьте форму
- Правило Лопиталя применимо только к настоящей неопределенной форме: $\dfrac00$ или $\dfrac{\infty}{\infty}$.
- Сначала подставьте, чтобы убедиться: если прямая подстановка уже даёт число, задача решена, и правило не применяется.
- Применение к неопределённости (например, $\tfrac{5}{2}$) даст неверный ответ.
- Поэтому всегда проверяйте вид выражения перед применением правила.
Правило Лопиталя применимо к каким неопределенным формам?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Только $\tfrac00$ и $\tfrac\infty\infty$. $\tfrac52$ уже определенная; $\tfrac30$ — асимптота, а не неопределенность.
Перед применением правила подтвердите, что предел имеет форму ____, подставив значения.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Только $\tfrac00$ или $\tfrac\infty\infty$ подходят.
Дифференцируйте числитель и знаменатель отдельно
- Правило: $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$(когда форма неопределённа).
- Предупреждение: это не правило дифференцирования частного — вы дифференцируете $f$ и $g$ независимо, без минуса и без $g^2$.
- Затем повторно вычислите новый, более простой предел.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$ — знаменитый предел, за одну строку.
Отношение 0/0 с действительным пределом
y = sin(x)/x (вблизи 0)
$\tfrac{\sin x}{x}$ выглядит как $\tfrac00$ при $0$, но кривая плавно стремится к $1$ — правило Лопиталя быстро находит это значение.
Правило Лопиталя использует правило дифференцирования дроби $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ для числителя и знаменателя.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Оно дифференцирует $f$ и $g$ отдельно: $\tfrac{f'}{g'}$, а не правило дифференцирования дроби.
Вычислите $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$, используя правило.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac00\Rightarrow\lim\tfrac{e^x}{1}=e^0=1$.
По правилу Лопиталя, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{1}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\cos 0=1$.
Повторите, если форма остаётся неопределённой
- Если новая дробь $\tfrac{f'}{g'}$ также является $\tfrac00$ или $\tfrac\infty\infty$, примените правило ещё раз.
- Продолжайте дифференцировать числитель и знаменатель, пока не получите определённое значение.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\tfrac12$ (два применения).
- Каждый цикл должен по-прежнему быть неопределённостью, чтобы оправдать повторное применение.
Применив правило дважды, получаем $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=$ ? (десятичное число)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\to\tfrac{\sin x}{2x}\to\tfrac{\cos x}{2}=\tfrac12$.
$\dfrac{f'}{g'}$ не является правилом дифференцирования частного. Л’Опиталь дифференцирует числитель и знаменатель отдельно: $\frac{d}{dx}[f]$ на $\frac{d}{dx}[g]$ — без $\frac{f'g-fg'}{g^2}$. И применяйте его только к $\tfrac00$ или $\tfrac{\infty}{\infty}$; использование при уже определённом пределе приведёт к бессмыслице.
Вычислите $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$.
- Подстановка: $\frac{e^0-1}{0}=\frac{0}{0}$ — неопределённость, значит, применимо правило Л’Опиталя.
- Отличите верхнюю часть от нижней: $\dfrac{e^x}{1}$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1$.
Правило Л’Опиталя: для неопределённостей $\tfrac00$ или $\tfrac{\infty}{\infty}$, $\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ — дифференцируйте числитель и знаменатель отдельно (не как правило частного) и пересчитайте. Сначала подтвердите форму и повторяйте правило, пока результат остаётся неопределённым.