Решение задач на связанные ставки
ВведеноПовторяемый алгоритм для задач на связанные скорости
- Текстовые задачи на связанные скорости кажутся сложными, пока вы не следуете строгому алгоритму.
- Всегда одни и те же пять шагов: рисунок, уравнение, дифференцирование, подстановка, решение.
- Единственное правило, которое часто нарушают: подставлять числа только после дифференцирования.
- Освоив этот алгоритм, любая задача на связанные скорости становится стандартной.
Пять шагов
- 1. Нарисуйте и подпишите изменяющиеся величины; отметьте, что дано и что нужно найти.
- 2. Свяжите переменные уравнением (геометрия/формула).
- 3. Продифференцируйте обе части уравнения по переменной $t$ (применяйте правило цепной производной → множители скоростей).
- 4. Подставьте известные значения в данный момент времени.
- 5. Решите относительно неизвестной скорости; укажите ответ с единицами измерения и знаком.
Объем растет быстрее всего, когда он большой
y = a·x³ (V vs r)
Поскольку $\tfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\tfrac{dr}{dt}$, фиксированная ставка изменения радиуса заставляет ставку изменения объема резко возрастать по мере роста $r$.
Расставьте шаги решения задач на связанные ставки по порядку.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Рисунок, связь, дифференцирование, подстановка и решение.
Сначала дифференцируем, потом подставляем
- Величина, которая меняется, должна оставаться переменной во время дифференцирования.
- Если вы подставите $r=5$ до дифференцирования, её скорость $\tfrac{dr}{dt}$ исчезнет — и весь метод рухнет.
- Подставляйте значения момента только на шаге 4, после взятия производной.
- Раньше можно фиксировать только истинные константы (например, фиксированную длину лестницы).
Зная $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$, $r=5$ и $\dfrac{dr}{dt}=2$, найдите $\dfrac{dV}{dt}$ как кратное $\pi$ (введите число перед $\pi$).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$4\pi(25)(2)=200\pi$.
Когда следует подставлять числовые значения момента времени?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Сначала дифференцируйте; подставляйте числа только afterward, иначе члены ставок исчезнут.
Подстановка $r=5$ до дифференцирования — это допустимый трюк.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Это убивает $\tfrac{dr}{dt}$ и ломает метод.
Проверьте единицы и логичность
- Ответ — это скорость; добавьте единицы вида выход на вход (например, $\tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$).
- Проверьте знак: растущая величина → положительная; убывающая → отрицательная.
- Убедитесь, что значение логично для данной ситуации.
- Четкое заключительное предложение («объем увеличивается со скоростью ... в секунду») обеспечит баллы за интерпретацию.
Ответ на задачу о связанных ставках — это ставка, поэтому его необходимо указывать вместе с его ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Например, см³ в секунду.
Ответ на задачу о связанных ставках получился $\dfrac{dV}{dt}=-30\,\tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$. Это означает, что объем...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Отрицательная ставка означает, что объем уменьшается со скоростью $30$ см³/с.
Главнейшая ошибка в задачах на связанные скорости: подстановка значений момента до дифференцирования. Держите все изменяющиеся величины в символьном виде до конца этапа дифференцирования; подставляйте значения только afterward. Ранняя подстановка уничтожает члены скорости и дает неверный (часто нулевой) ответ.
Радиус шарика растет со скоростью $\tfrac{dr}{dt}=2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$. С какой скоростью растет объем, когда радиус равен $r=5$ см?
- Свяжите: $V=\tfrac43\pi r^3$. Продифференцируйте: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Теперь подставьте $r=5$, $\tfrac{dr}{dt}=2$: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi(25)(2)=200\pi$.
- Объем увеличивается со скоростью $200\pi\approx628\ \tfrac{\text{cm}^3}{\text{s}}$.
Решите задачу на связанные скорости в пять шагов: нарисуйте/подпишите, запишите связывающее уравнение, продифференцируйте по $t$, подставьте значения момента только после дифференцирования и решите относительно неизвестной скорости. Укажите правильный знак и единицы измерения, проверьте, является ли результат логичным.