Введение в задачи на связанные ставки
Введено| English | Значение |
|---|---|
| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | связанные скорости изменения |
| time/taɪm/ | время |
Когда одна скорость вызывает другую
- Надуйте шарик: его радиус растет, и благодаря этому растет и его объем.
- Эти две скорости связаны — зная, как быстро меняется радиус, можно узнать, как быстро меняется объем.
- Задачи такого типа называются связанными скоростями: несколько величин изменяются одновременно во времени.
- Механизм, связывающий их, — это правило дифференцирования сложной функции, применяемое относительно времени.
Задача на связанные ставки связывает ставки изменений величин, которые зависят друг от...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Переменные являются функциями времени, связанными через правило дифференцирования сложной функции.
Начните с уравнения, связывающего переменные
- Сначала найдите уравнение, которое связывает величины вместе — обычно это геометрия или формула.
- Для шарика: $V=\tfrac43\pi r^3$ связывает объем и радиус.
- Лестница, скользящая по стене: $x^2+y^2=L^2$ (теорема Пифагора) связывает два расстояния.
- Это связывающее уравнение верно в любой момент, поэтому мы можем продифференцировать его по времени.
Объем растет вместе с радиусом
y = a·x³ (V vs r)
$V=\tfrac43\pi r^3$ резко возрастает — небольшая ставка изменения радиуса дает большую ставку изменения объема, когда $r$ велико.
Первый шаг — записать ____ , которое связывает изменяющиеся переменные.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Обычно геометрическая или физическая зависимость.
Лестница длиной $L$ опирается на стену. Какое уравнение связывает расстояние от стены $x$ и высоту $y$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Теорема Пифагора: стена и пол образуют прямой угол, поэтому $x^2+y^2=L^2$.
Продифференцируйте по времени
- Каждая переменная тайно зависит от $t$, поэтому дифференцирование порождает скорость для каждой переменной — через правило дифференцирования сложной функции.
- $\dfrac{d}{dt}\big[V=\tfrac43\pi r^3\big]$ дает $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Каждый член вносит множитель «$\tfrac{d(\text{that variable})}{dt}$» — точно так же, как при неявном дифференцировании, но скрытой переменной здесь выступает $t$.
- Теперь уравнение связывает скорости $\tfrac{dV}{dt}$ и $\tfrac{dr}{dt}$.
Дифференцирование $V=\tfrac43\pi r^3$ по переменной $t$ дает $\dfrac{dV}{dt}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Правило сложной функции во времени: $4\pi r^2$ умножить на $\tfrac{dr}{dt}$.
Разделите известные данные от неизвестных
- Прочитайте задачу и обозначьте: какие скорости даны, а какая единственная скорость требуется?
- «Радиус растет со скоростью $2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$» → $\tfrac{dr}{dt}=2$ дано.
- «Как быстро растет объем?» → $\tfrac{dV}{dt}$ является искомым.
- Также обратите внимание на любые фиксированные величины (например, радиус в рассматриваемый момент).
Дифференцирование $r^3$ по времени дает просто $3r^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Оно дает $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — необходим множитель ставки.
"Радиус увеличивается со скоростью $2$ см/с; как быстро увеличивается объем?" Выберите все правильные метки.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Ставка изменения радиуса дана, ставка изменения объема нужна, и $V=\tfrac43\pi r^3$ их связывает.
Переменные связанных скоростей являются функциями времени, поэтому дифференцирование $r^3$ дает $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — никогда просто $3r^2$. Забывание множителя $\tfrac{dr}{dt}$ (фактора скорости правила дифференцирования сложной функции) является определяющей ошибкой. Каждая изменяющаяся величина вносит свой собственный $\tfrac{d(\ )}{dt}$.
Объем шарика равен $V=\tfrac43\pi r^3$. Составьте уравнение для связанных скоростей.
- Продифференцируйте по $t$: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac43\pi\cdot 3r^2\cdot\dfrac{dr}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Это связывает темп роста объема с темпом роста радиуса.
- Зная $\tfrac{dr}{dt}$ и текущий $r$, мы теперь могли бы решить уравнение относительно $\tfrac{dV}{dt}$ (в следующем уроке).
Задача на связанные скорости связывает скорости изменения двух или более величин, изменяющихся во времени. Запишите уравнение, связывающее переменные (часто геометрические), продифференцируйте его по $t$ с использованием цепного правила (каждая переменная получает множитель $\tfrac{d(\ )}{dt}$) и определите, какие скорости даны, а какая требуется.