Выбор процедур для вычисления производных
ВведеноУ вас есть набор инструментов — теперь выберите нужный
- К этому моменту вы владеете правилами степенной, константного множителя, суммы/разности, произведения, частного, сложной функции и элементарных производных.
- Навык экзамена — быстро выбрать правильное правило и комбинировать правила в правильном порядке.
- Грязно выглядящая производная обычно проста, если разглядеть её структуру.
- Этот урок — руководство по принятию решений для чтения этой структуры.
Сначала прочитайте внешнюю структуру
- Спросите себя: на самом верхнем уровне это сумма, произведение, частное или композиция?
- Сумма/разность → дифференцируйте по членам.
- Произведение → правило произведения; частное → правило частного.
- Композиция (функция внутри функции) → правило сложной функции, раскрывая от внешней к внутренней.
Прочитайте структуру, выберите правило
y = a / (x − b)
То, является ли кривая произведением, частным или композицией, определяет, какое правило дифференцирования применить — сначала прочитайте верхний уровень.
Какое правило требуется для $y=x^2\sin x$ на верхнем уровне?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Это произведение $x^2$ и $\sin x$ → правило произведения.
Структура верхнего уровня для $\dfrac{\sin x}{x^2}$ это...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Это $\sin x$, деленное на $x^2$ — частное (или перепишите как $x^{-2}\sin x$).
Соотнесите каждую функцию с правилом верхнего уровня, которое она требует.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Прочитайте внешнюю операцию: почленное дифференцирование, произведение, частное или композиция.
Комбинируйте правила в правильном порядке
- Реальные функции вкладывают правила друг в друга: произведение, факторы которого являются композициями, или частное, содержащее сложную функцию внутри.
- Работайте снаружи внутрь: сначала примените правило верхнего уровня, затем обработайте каждый подкус со своим правилом.
- $\dfrac{d}{dx}\big[x^2\sin(3x)\big]$: сначала правило произведения, и для фактора $\sin(3x)$ нужно правило сложной функции → $2x\sin(3x)+x^2\cos(3x)\cdot3$.
- Храните производные подсубъектов в помеченных блоках, чтобы ничего не потерялось.
Упростите $\dfrac{x^2+x}{x}$ сначала, затем продифференцируйте. Какова производная?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{x^2+x}{x}=x+1$, поэтому производная равна $1$ — правило частного не требуется.
Для вложенных функций применяйте правила, двигаясь от ____ уровня внутрь.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Сначала обработайте внешнюю структуру, затем каждый подкомпонент.
Упрощайте разумно, затем проверяйте на адекватность
- Перед началом спросите, упростит ли алгебра работу: раскрыть небольшое произведение или разбить дробь на члены.
- $\dfrac{x^2+x}{x}=x+1$, поэтому его производная просто $1$ — правило частного не нужно.
- После дифференцирования проверьте адекватность: правильное количество членов, разумные знаки, правдоподобные единицы.
- Правильный выбор в начале лучше, чем механическое применение самого сложного правила.
После дифференцирования проверка ответа на адекватность (количество слагаемых, знаки) является хорошей практикой.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Быстрая проверка на здравый смысл ловит многие ошибки.
Сопоставляйте правило с верхнеуровневой структурой, а не с первым символом, который вы видите. $\dfrac{\sin x}{x^2}$ — это частное (используйте правило частного или перепишите как $x^{-2}\sin x$ для правила произведения) — это не просто «производная от $\sin$». Неправильное чтение структуры отправляет вас по совершенно неверному пути.
Найдите производную от $y=\dfrac{e^{x}}{x^2+1}$.
- Верхний уровень — это частное: $f=e^x$, $g=x^2+1$.
- $f'=e^x$, $g'=2x$ ($g'$ — простой шаг применения степенного правила).
- $y'=\dfrac{e^x(x^2+1)-e^x(2x)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}$.
Выбор процедуры: прочитайте верхнеуровневую структуру — сумму, произведение, частное или композицию — и примените это правило сначала, затем обработайте каждый подкус со своим правилом, работая снаружи внутрь. Упрощайте с помощью алгебры, когда это выгоднее, и проверяйте результат на адекватность.