Вычисление производных более высокого порядка
Введено| English | Значение |
|---|---|
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | вторая производная |
| higher-order derivatives/ˈhaɪə ˈɔːdə dɪˈrɪvətɪvz/ | производные более высоких порядков |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | ускорение |
Дифференцируйте производную
- Ничто не мешает дифференцировать $f'$ ещё раз. Результатом будет вторая производная $f''$.
- Продолжайте, и получите производные высших порядков: $f'''$, $f^{(4)}$ и так далее.
- Каждая из них измеряет скорость изменения предыдущей.
- Вторая производная — звезда: она описывает, как изменяется сам наклон.
Кубическая функция и её наклоны
y = ax³ + bx
Первая производная $f'$ кубической функции — парабола, а вторая производная $f''$ — прямая линия — каждая последующая производная снижает степень на единицу.
Просто повторите процесс
- Найдите $f'$, используя любые необходимые правила, затем продифференцируйте это, чтобы получить $f''$.
- $f(x)=x^4 \Rightarrow f'(x)=4x^3 \Rightarrow f''(x)=12x^2 \Rightarrow f'''(x)=24x$.
- Каждый шаг — это обычная производная — новой техники нет, просто применяется снова.
- Упростите $f'$ перед повторным дифференцированием; это сохранит алгебру чистой.
Для $f(x)=x^4$, чему равно $f'(x)$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'=4x^3$, затем $f''=12x^2$.
Для $f(x)=x^3-2x^2+5x$, дано $f'(x)=6x-4$. Найдите $f'(2)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(2)=6(2)-4=8$.
Для $f(x)=x^3-2x^2+5x$ выберите все правильные производные.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Дифференцируйте пошагово; четвертый вариант — неверное упрощение.
Обозначения для производных высших порядков
- Обозначение с штрихами: $f''(x)$, $f'''(x)$, затем $f^{(4)}(x)$ (количество штрихов больше трёх).
- Обозначение Лейбница: $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ для второй производной, $\dfrac{d^3y}{dx^3}$ для третьей.
- Читайте $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ как «дэ-квадрат-игекс» — это означает «взять производную от $y$ дважды».
- Оба обозначения означают одно и то же.
В нотации Лейбница вторая производная от $y$ записывается как $\dfrac{d^2 y}{dx^{\square}}$. Показатель степени $\square$ находится ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{d^2y}{dx^2}$.
Что означает вторая производная на самом деле
- $f'$ — это скорость изменения $f$; $f''$ — это скорость изменения $f'$.
- Если $f$ — это положение, то $f'$ — это скорость, а $f''$ — ускорение — то, насколько быстро меняется скорость.
- Знак $f''$ говорит о выпуклости (вогнутость вверх или вниз), об этом мы узнаем в Разделе 5.
- Значит, производные высших порядков — не пустая трата времени: $f''$ имеет реальное физическое значение.
Вторая производная $f'$ равна $(f')^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'$ является производной от $f'$, а не её квадратом.
Если $f$ — это положение, то вторая производная $f'$ представляет собой...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'=$ скорость, $f''=$ ускорение.
$f''$ — это производная $f'$, а не квадрат $f'$: $f''\neq(f')^2$. Применяйте правила сложного/произведения/частного на каждом этапе — дифференцирование $f'=\sin(x^2)$ для получения $f''$ всё ещё требует правила сложной функции. Не прекращайте применение правил, даже если вы переходите ко второму этапу дифференцирования.
Найдите $f''(x)$ для функции $f(x)=x^3-2x^2+5x$.
- Первая производная: $f'(x)=3x^2-4x+5$.
- Дифференцируем снова: $f''(x)=6x-4$.
- (Ещё один шаг: $f'''(x)=6$, и $f^{(4)}(x)=0$.)
Производная более высокого порядка находится путем повторного дифференцирования: $f''$ — это производная от $f'$, и так далее. Записывайте их как $f''(x)$ / $\frac{d^2y}{dx^2}$ и т. д. Вторая производная — это скорость изменения первой производной (например, ускорение), а её знак характеризует выпуклость. Продолжайте применять правила сложения/произведения/частного на каждом этапе.