Дифференцирование обратных тригонометрических функций
Введено| English | Значение |
|---|---|
| inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | обратные тригонометрические функции |
Производные, скрывающие корень
- Обратные тригонометрические функции — $\arcsin$, $\arctan$ и их аналоги — являются обратными к синусу, тангенсу и т. д.
- Их производные удивительно алгебраические: совсем нет тригонометрии, только степени и корни.
- Две из них стоит запомнить сразу; остальные следуют тому же шаблону.
- Эти обратные тригонометрические функции встречаются в интегралах позже, поэтому знание их производных окупается дважды.
Две, которые нужно знать
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]=\dfrac{1}{1+x^2}$.
- Заметьте: $\arcsin$ содержит корень в знаменателе; $\arctan$ имеет чистый $1+x^2$.
- Обе всегда положительны на своих областях определения — эти обратные функции возрастают.
Плавный наклон арктангенса
y = a·tanh(bx) (форма, похожая на арктангенс)
$\arctan x$ растет быстрее всего при $0$ (наклон $1$) и выполаживается — ее производная $\tfrac{1}{1+x^2}$ стремится к $0$.
Чему равно $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\arcsin$ имеет вид корня $\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
Чему равно $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\arctan$ имеет чистый вид $\tfrac{1}{1+x^2}$ (без корня).
Остальные члены семейства
- $\dfrac{d}{dx}[\arccos x]=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ — то же, что и $\arcsin$, но отрицательное.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arccot}\,x]=-\dfrac{1}{1+x^2}$ — это минус от $\arctan$'а.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arcsec}\,x]=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$.
- «Со-» обратные функции содержат минус, повторяя обычную тригонометрическую закономерность.
$\dfrac{d}{dx}[\arccos x]$ является ____ от $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$ (такой же модуль, противоположный знак).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\arccos$ содержит знак минус.
Выберите все производные обратных тригонометрических функций, содержащие квадратный корень.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\arcsin$, $\arccos$ и арксеканс содержат корни; $\arctan$ равен $\tfrac{1}{1+x^2}$ без корня.
Применяйте правило сложной функции
- С помощью правила сложной функции замените $x$ внутренней функцией $u$ и умножьте на $u'$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+(3x)^2}\cdot 3=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin(x^2)]=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.
- Та же процедура, что и в любой задаче на правило сложной функции: внешняя формула, затем $\times\,u'$.
Для $y=\arctan(3x)$, дано $y'=\dfrac{3}{1+9x^2}$. Найдите $y'$ при $x=0$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
При $x=0$: $\tfrac{3}{1+0}=3$.
$\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+9x^2}$ (без внутреннего множителя).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Правило сложной функции добавляет внутреннюю производную $3$: $\tfrac{3}{1+9x^2}$.
Не путайте две формы: $\arcsin$ даёт $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (корень), тогда как $\arctan$ даёт $\frac{1}{1+x^2}$ (без корня). И при правиле сложной функции никогда не пропускайте производную внутренней функции: $\frac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\frac{3}{1+9x^2}$, а не $\frac{1}{1+9x^2}$.
Найдите производную от $y=\arctan(x^2)$.
- Внешняя часть: $\arctan(u)$ с аргументом $u=x^2$, дающая $\dfrac{1}{1+u^2}$.
- Производная внутренней функции: $u'=2x$.
- $y'=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot 2x=\dfrac{2x}{1+x^4}$.
Запомните $\frac{d}{dx}[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ и $\frac{d}{dx}[\arctan x]=\frac{1}{1+x^2}$. «Со-» обратные функции ($\arccos$, арккотангенс) содержат минус. Для составных обратных тригонометрических функций применяйте правило сложной функции — стандартную формулу, умноженную на производную внутренней функции $u'$.