Дифференцирование обратных функций
Введено| English | Значение |
|---|---|
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | обратная функция |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | обратные величины |
Наклоны функции и её отражения
- Обратная функция $f^{-1}$ обратимым образом действует на $f$: она отражает график относительно прямой $y=x$.
- Отражение меняет местами подъем и горизонтальное смещение — поэтому оно переворачивает наклон вверх дном.
- Это дает удобный трюк: можно найти производную обратной функции, зная производную исходной.
- И самое главное, часто вообще не нужна формула для $f^{-1}$.
Правило обратного наклона
- В соответствующих точках наклоны $f$ и $f^{-1}$ являются вза обратно обратными.
-
$$\big(f^{-1}\big)'(x)=\frac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}$$
- Читается так: наклон обратной функции в точке $x$ равен $1$, деленному на наклон $f$ в соответствующем значении аргумента.
- Соответствующий аргумент — это $f^{-1}(x)$ — точка на $f$, которая отображается в $x$.
Производная обратной функции равна $\big(f^{-1}\big)'(x)=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Единица, деленная на исходную производную в соответствующем значении аргумента $f^{-1}(x)$.
Вычислите без нахождения обратной функции
- Обычно вам нужна производная только в одной точке, и можно обойтись без нахождения общей формулы для $f^{-1}$.
- Пусть даны $f(2)=5$ и $f'(2)=3$. Тогда точка $(5,2)$ лежит на графике $f^{-1}$, следовательно, $f^{-1}(5)=2$.
- Применяем правило: $\big(f^{-1}\big)'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
- Вам не понадобилась общая формула — нужен только соответствующий pair и одно значение производной.
Если даны $f(2)=5$ и $f'(2)=4$, найдите $\big(f^{-1}\big)'(5)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f^{-1}(5)=2$, следовательно, $\big(f^{-1}\big)'(5)=\tfrac{1}{f'(2)}=\tfrac14$.
Для вычисления $\big(f^{-1}\big)'(c)$ в точке вам необходимо...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Вам нужны соответствующий аргумент и значение $f'$ там (ненулевое, чтобы существовала обратная величина) — полная формула обратной функции не требуется.
Почему обратный наклон? Посмотрите на отражение
- Отражение относительно $y=x$ превращает «подъём $3$ на горизонтальное расстояние $1$» в «подъём $1$ на горизонтальное расстояние $3$».
- Так что наклон $3$ становится наклоном $\tfrac13$ — буквально перевёрнутым.
- Именно поэтому $f$ и $f^{-1}$ имеют взаимно обратные наклонения в соответствующих точках.
- (Это также предупреждает: если при $f'=0$ есть точка, то у обратной функции там вертикальная касательная — её наклон не определён.)
Наклон и его обратная величина
y = x³ + 1
Отражение кривой относительно $y=x$ меняет местами подъем и горизонтальное смещение — наклон $3$ становится $\tfrac13$ у обратной функции.
Чтобы найти $\big(f^{-1}\big)'(5)$, нужно вычислить $f'$ при $5$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Вы вычисляете $f'$ при соответствующем значении аргумента $f^{-1}(5)$, а не при $5$.
В соответствующих точках наклоны $f$ и $f^{-1}$ являются ____ друг для друга.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Отражение относительно $y=x$ инвертирует наклон.
Если $f'(a)=0$ равно нулю в соответствующем значении аргумента, то обратная функция в соответствующей точке имеет...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Деление на $0$ не определено — отраженная касательная вертикальна.
Используйте производную функции $f$ в соответствующем аргументе $f^{-1}(x)$, а не в самой точке $x$. Для вычисления $\big(f^{-1}\big)'(5)$ вам нужно значение $f'$ при аргументе, который отображается в $5$, то есть $f'(f^{-1}(5))$, а не $f'(5)$. Прямая подстановка $5$ в формулу $f'$ является классической ошибкой.
Функция $f(x)=x^3+1$ имеет значения $f(1)=2$ и $f'(x)=3x^2$. Найдите $\big(f^{-1}\big)'(2)$.
- Соответствующий аргумент: $f^{-1}(2)=1$ (поскольку $f(1)=2$).
- $f'(1)=3(1)^2=3$.
- $\big(f^{-1}\big)'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{3}$.
Производная обратной функции является обратной величиной к производной исходной функции в соответствующей точке: $\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Отражение относительно $y=x$ меняет местами подъём и горизонтальное расстояние, переворачивая наклон. Его можно вычислить в точке, используя только пару соответствующих значений — формула для $f^{-1}$ не требуется.