Неявное дифференцирование
Введено| English | Значение |
|---|---|
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | дифференцирование неявной функции |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | неявный |
Когда нельзя выразить $y$ явно
- Уравнение окружности $x^2+y^2=25$ определяет $y$ неявно — его нельзя записать как одну формулу $y=f(x)$.
- Однако кривая имеет касательную в каждой точке. Как найти $\tfrac{dy}{dx}$, не решая уравнение относительно $y$?
- Трюк: продифференцируйте обе части по переменной $x$, рассматривая $y$ как скрытую функцию от $x$.
- Это называется неявное дифференцирование.
Уравнение вида $x^2+y^2=25$ определяет $y$ ____, поскольку оно не выражено относительно $y$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Именно поэтому мы используем неявное дифференцирование.
Каждый член с $y$ требует правила сложной функции
- Поскольку $y$ неявно зависит от $x$, дифференцирование члена с $y$ требует правила сложной функции.
- $\dfrac{d}{dx}[y^2]=2y\cdot\dfrac{dy}{dx}$ — дополнительный множитель $\tfrac{dy}{dx}$ является внутренней производной.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$ как обычно (без $y$, без дополнительного множителя).
- Поэтому каждый раз, когда вы дифференцируете член, содержащий $y$, добавляйте множитель $\tfrac{dy}{dx}$.
Дифференцируя по $x$, получаем $\dfrac{d}{dx}[y^2]=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Цепное правило: $2y$, умноженное на производную внутренней функции $\tfrac{dy}{dx}$.
Решите относительно $\tfrac{dy}{dx}$
- После дифференцирования получается уравнение, где $\tfrac{dy}{dx}$ разбросаны повсюду.
- Сгруппируйте все члены с $\tfrac{dy}{dx}$ на одной стороне, остальное — на другой.
- Вынесите $\tfrac{dy}{dx}$ за скобки и разделите, чтобы изолировать его.
- Результат обычно зависит от обеих переменных $x$ и $y$ — это нормально для кривой.
Наклон касательной к кривой
y = √(25 − x²) (верхняя полуокружность)
Даже кривую, которую нельзя выразить для $y$, можно дифференцировать неявно, чтобы найти наклон касательной в каждой точке.
Расставьте шаги неявного дифференцирования в правильном порядке.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Дифференцируйте, соберите слагаемые, решите уравнение, затем вычислите значение.
Вычислите значение в точке
- Чтобы получить конкретный наклон, подставьте точку $(x,y)$, лежащую на кривой, в вашу формулу для $\tfrac{dy}{dx}$.
- Для $x^2+y^2=25$: дифференцирование дает $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0$, поэтому $\tfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$.
- В точке $(3,4)$: наклон $=-\tfrac34$. В точке $(3,-4)$: наклон $=+\tfrac34$.
- Один и тот же $x$ может иметь разные угловые коэффициенты — потому что кривая имеет две ветви $y$.
Для $x^2+y^2=25$, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$. Найдите наклон в $(3,4)$ (в виде десятичной дроби).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$-\tfrac{3}{4}=-0.75$.
Множитель $\tfrac{dy}{dx}$ добавляется к каждому слагаемому, включая чистые слагаемые типа $x$, например $x^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Только слагаемые, содержащие $y$, получают множитель $\tfrac{dy}{dx}$.
Дифференцирование $xy$ по переменной $x$ дает...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Правило произведения: $\frac{d}{dx}[xy]=1\cdot y+x\cdot\tfrac{dy}{dx}$.
Множитель правила сложной функции $\tfrac{dy}{dx}$ появляется только в членах, содержащих $y$. Для $\frac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ (без множителя), но для $\frac{d}{dx}[y^3]=3y^2\tfrac{dy}{dx}$ да. Забыть множитель $\tfrac{dy}{dx}$ при членах с $y$ — главная ошибка неявного дифференцирования. А произведение вида $xy$ требует правила произведения: $\frac{d}{dx}[xy]=y+x\tfrac{dy}{dx}$.
Найдите $\tfrac{dy}{dx}$ для $x^2+y^2=25$ в точке $(3,4)$.
- Продифференцируйте: $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$.
- Решение: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x}{2y}=-\dfrac{x}{y}$.
- В точке $(3,4)$: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$ — наклон касательной в этой точке.
Неявное дифференцирование: продифференцируйте обе части по $x$, считая $y$ функцией от $x$, чтобы каждый член с $y$ получил множитель $\tfrac{dy}{dx}$ (правило сложной функции); затем сгруппируйте, вынесите за скобки и решите относительно $\tfrac{dy}{dx}$. Подставьте точку на кривой, чтобы найти наклон. Ответ обычно зависит как от $x$, так и от $y$.