Правило сложной функции (цепное правило)
Введено| English | Значение |
|---|---|
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | составная функция |
| Chain Rule/tʃeɪn ruːl/ | правило сложной функции |
| outer/ˈaʊtə/ | внешний |
| inner/ˈɪnə/ | внутренний |
Функции внутри функций
- Чему равна производная $(3x+1)^{5}$? Это степень от функции — составная функция.
- Раскрытие сколок было бы ужасно. Для этого существует специальное правило: правило сложной функции.
- Составная функция — это «внешняя функция, обернутая вокруг внутренней», например $f(g(x))$.
- Правило сложной функции дифференцирует слои по одному и перемножает результаты.
Само правило
- Для $y=f(g(x))$:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f(g(x))\big]=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
- Простыми словами: производная внешней (внутреннюю оставляем нетронутой) умножается на производную внутренней.
- Маленький «$\cdot\, g'(x)$» — та часть, которую люди забывают; именно в этом суть.
Составная кривая
y = ax² + bx + c
Составная функция вида $(3x+1)^2$ круче своей внутренней прямой — цепное правило умножает внутреннюю скорость.
Правило сложной функции дает $\dfrac{d}{dx}[f(g(x))]=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Производная внешней функции во внутренней точке, умноженная на производную внутренней функции.
Определите внешнюю и внутреннюю функции
- Перед дифференцированием назовите внешнюю и внутреннюю функции.
- В $(3x+1)^5$: внешняя — «(что-то)$^5$», внутренняя — $3x+1$.
- Производная внешней: $5(3x+1)^4$. Производная внутренней: $3$.
- Перемножаем: $\dfrac{d}{dx}[(3x+1)^5]=5(3x+1)^4\cdot 3=15(3x+1)^4$.
Для $y=(2x+1)^3$ найдите $y'$ в точке $x=0$. (Цепное правило: $3(2x+1)^2\cdot2$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y'=6(2x+1)^2$; в точке $0$: $6(1)=6$.
Для $\sqrt{x^2+1}=(x^2+1)^{1/2}$ выберите все правильные определения.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Корень — внешняя функция; $x^2+1$ — внутренняя с производной $2x$.
Сочетание с другими правилами
- Правило сложной функции комбинировается со всем: степенным, произведением, частным и элементарными производными.
- $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]=\cos(x^2)\cdot 2x$ — внешняя $\sin$, внутренняя $x^2$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
- Для глубоко вложенных функций раскрывайте слои по одному, перемножая каждую внутреннюю производную по мере продвижения.
Чему равно $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Внешняя $\cos(x^2)$, умноженная на производную внутренней $2x$.
Множитель, который чаще всего забывают при применении цепного правила, — это производная ____ $g'(x)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
После дифференцирования внешней функции необходимо умножить на $g'(x)$.
Чему равно $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Внешняя $e^{3x}$, умноженная на производную внутренней $3$.
Никогда не забудьте умножить на внутреннюю производную $g'(x)$. $\frac{d}{dx}[\sin(x^2)]$ — это $\cos(x^2)\cdot 2x$, а не просто $\cos(x^2)$. Пропуск множителя «$\cdot\,g'(x)$» — самая распространенная ошибка в математическом анализе; одной внешней производной недостаточно, это лишь половина ответа.
Найдите производную от $y=\sqrt{x^2+1}$.
- Преобразование: $y=(x^2+1)^{1/2}$. Внешняя: $(\ )^{1/2}$; внутренняя: $x^2+1$.
- Производная внешней: $\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}$. Производная внутренней: $2x$.
- $y'=\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Правило сложной функции дифференцирует составную функцию: $\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — производная внешней (внутренняя без изменений) умножается на производную внутренней. Сначала определите слои и никогда не отбрасывайте множитель $\cdot\,g'(x)$. Оно сочетается с любым другим правилом для вложенных выражений.