Нахождение производных тангенса, котангенса, секанса и косеканса
Введено| English | Значение |
|---|---|
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | тригонометрический |
Остальные четыре тригонометрические функции
- Мы знаем $\sin'=\cos$ и $\cos'=-\sin$. Остальные четыре тригонометрические функции являются частными этих функций.
- Поэтому Правило частного выводит их производные — новой магии нет, лишь аккуратная алгебра.
- $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\dfrac1{\cos x}$, $\csc x=\dfrac1{\sin x}$.
- Выучите четыре результата, но знайте, что они происходят из Правила частного.
Эти четыре производные получаются с помощью...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Каждое из $\tan,\cot,\sec,\csc$ является частным вида $\sin$/$\cos$.
Вывод $\tan x$
- $\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac{\sin x}{\cos x}\right]$.
- Правило частного: $\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}$.
- Поскольку $\cos^2 x+\sin^2 x=1$: $=\dfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$.
- Значит, $\boxed{\dfrac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x}$ и, аналогично, $\dfrac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$.
Синусоида, отношение которой образует тангенс
$\tan x=\sin x/\cos x$; ее производная $\sec^2 x$ всегда положительна — тангенс возрастает везде, где определен.
Чему равно $\dfrac{d}{dx}[\tan x]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
По правилу частного для функции $\sin/\cos$ получаем: $\sec^2 x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cot x]=$ ____ $\csc^2 x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Это $-\csc^2 x$.
Пара секанса и косеканса
- $\dfrac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$.
- Паттерн: «ко-» функции ($\cos,\cot,\csc$) во всех своих производных содержат знак минус.
- Каждая из этих четырех также следует из Правила частного, примененного к $\tfrac1{\cos}$ или $\tfrac1{\sin}$.
Чему равно $\dfrac{d}{dx}[\sec x]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$.
Производные от $\cot x$ и $\csc x$ содержат минус.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$-\csc^2 x$ и $-\csc x\cot x$ — «ко-» функции имеют минус.
Использование их с другими правилами
- Эти тригонометрические производные сочетаются с правилами произведения и частного так же, как и любые другие.
- $\dfrac{d}{dx}[x\tan x]=\tan x+x\sec^2 x$ (Правило произведения).
- $\dfrac{d}{dx}[3\sec x-\cot x]=3\sec x\tan x+\csc^2 x$.
- Держите под рукой четыре заключенных в рамку результата; они будут встречаться throughout остальной части курса.
Выберите все правильные производные.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Последний вариант неверен: правильно $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$, а не $\sec^2 x$.
Следите за знаками минус у «ко-» функций: $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$ и $\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$ оба содержат минус, что соответствует $\cos'=-\sin$. Перепутать $\sec^2 x$ (от $\tan$) с $\csc^2 x$ (от $\cot$) — еще одна частая ошибка — сопоставляйте каждую производную с её источником.
Найдите производную от $y=x^2\sec x$.
- Правило произведения для $f=x^2$, $g=\sec x$: $f'=2x$, $g'=\sec x\tan x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\sec x+x^2\sec x\tan x$.
- Множитель: $y'=x\sec x\,(2+x\tan x)$.
Все четыре дополнительных тригонометрических производных выводятся из правила частного: $\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x$, $\frac{d}{dx}[\cot x]=-\csc^2 x$, $\frac{d}{dx}[\sec x]=\sec x\tan x$, $\frac{d}{dx}[\csc x]=-\csc x\cot x$. Функции "co-" содержат знак минус. Свободно комбинируйте их с правилами произведения и частного.