Правило частного
Введено| English | Значение |
|---|---|
| Quotient Rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | правило частного |
| rational expression/ˈræʃənl ekˈspreʃn/ | рациональное выражение |
Деление функций требует осторожности
- Как и произведениям, частным требуется Правило частного.
- Нельзя дифференцировать числитель и знаменатель отдельно и делить — это неверно.
- Правило обрабатывает рациональное выражение $\dfrac{f}{g}$ двух функций.
- Его числитель содержит вычитание, поэтому порядок и знаки имеют большое значение.
Само правило
-
$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'\,g-f\,g'}{g^{2}}$$
- Верх: «производная верха, умноженная на низ, минус верх, умноженный на производную низа».
- Низ: исходный знаменатель, возведенный в квадрат.
- Запоминалка: «низ d-верх минус верх d-низ, над низом в квадрате».
Числитель Правила частного для $\dfrac{f}{g}$ это...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Числитель — $f'g-fg'$, деленный на $g^2$.
В Правиле частного знаменатель ответа равен $g$ ____ (до какой степени?).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Знаменатель равен $g^2$.
Выберите все верные утверждения о Правиле частного.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$g^2\ge0$ всегда положительно, поэтому он никогда не меняет знак.
Порядок имеет значение
- Числитель — это $f'g - fg'$, а не $fg' - f'g$ — замена их местами перевернет все знаки.
- Всегда пишите член $f'g$ первым; это фиксирует порядок и предотвращает ошибки со знаками.
- Знаменатель $g^2$ всегда положителен, поэтому он никогда не меняет знак ответа.
- Сохраняйте обозначения частей: $f,f',g,g'$ перед сборкой.
Рациональная кривая для дифференцирования
y = a / (x − b)
Для частного вида $\dfrac{x^2}{x+1}$ наклон вычисляется по Правилу частного — обратите внимание на вертикальную асимптоту, где знаменатель равен нулю.
Запись числителя как $fg' - f'g$ (в обратном порядке) дает тот же результат.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Обратный порядок меняет знак всего числителя — ошибка знака.
Найдите производную от $y=\dfrac{x}{x+1}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{(1)(x+1)-x(1)}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
Иногда произведение проще
- Частное $\dfrac{f}{g}$ можно переписать как произведение $f\cdot g^{-1}$ и решить с помощью Правил произведения и степени.
- Для простых знаменателей это может быть быстрее: $\dfrac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$.
- Но для настоящих частных двух функций, таких как $\dfrac{\sin x}{x}$, Правило частного — чистый путь.
- Выберите тот вариант, который избегает более громоздкой алгебры.
Частное $\dfrac{x}{x^2}$ быстрее всего дифференцируется путем...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{x}{x^2}=x^{-1}\Rightarrow -x^{-2}$ — проще, чем правило частного в данном случае.
Числитель Правила частного — это $f'g - fg'$ — порядок и знак минуса составляют всю сложность. Написание $fg' - f'g$ (перевернутого) инвертирует ваш ответ. И не забудьте возвести знаменатель в квадрат. Обе ошибки крайне распространены при дефиците времени.
Найдите производную от $y=\dfrac{x^2}{x+1}$.
- $f=x^2\Rightarrow f'=2x$; $\quad g=x+1\Rightarrow g'=1$.
- $y'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{2x(x+1)-x^2(1)}{(x+1)^2}$.
- $=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.
Правило частного: $\frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right]=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$ — «низ d-верх минус верх d-низ, над низом в квадрате». Сохраняйте порядок числителя ($f'g$ первым) и возводите знаменатель в квадрат. Для простых случаев переписывание в виде произведения $f g^{-1}$ может быть проще.