Правило произведения
Введено| English | Значение |
|---|---|
| Product Rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | правило произведения |
Почему произведениям нужно свое правило
- Соблазнительно, но неверно: производная произведения не равна произведению производных.
- $\dfrac{d}{dx}[x\cdot x]=\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$, а $f'g'=1\cdot1=1$. Они расходятся.
- Произведениям нужен свой инструмент: Правило произведения.
- Оно учитывает изменение обоих множителей одновременно.
Производная от $f\cdot g$ равна $f'\cdot g'$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Это $f'g+fg'$, а не $f'g'$.
Само правило
- Для произведения двух функций:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f\,g\big]=f'\,g+f\,g'$$
- Простыми словами: «производная первой, умноженная на вторую, плюс первая, умноженная на производную второй».
- Каждый член дифференцирует один множитель и оставляет другой нетронутым; затем вы складываете.
Правило произведения гласит: $\dfrac{d}{dx}[fg]=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Производная первого множителя, умноженная на второй, плюс первый множитель, умноженный на производную второго.
Чистый решенный образец
- Продифференцируйте $y=x^2\,e^x$. Обозначьте $f=x^2$ и $g=e^x$.
- $f'=2x$, $g'=e^x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\,e^x+x^2\,e^x$.
- Вынесите общий множитель, если требуется: $y'=x e^x(2+x)$.
Изменяющийся наклон произведения
y = ax² + bx
Произведение вида $x^2 e^x$ имеет наклон, сочетающий оба множителя — Правило произведения учитывает изменение обоих сразу.
Найдите производную от $y=x^2 e^x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'g+fg'=2x e^x+x^2 e^x$.
Для $y=x\sin x$ используйте правило произведения, чтобы найти $y'$ в точке $x=0$. (Вспомните $\sin 0=0$, $\cos 0=1$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y'=\sin x+x\cos x$; в точке $0$: $0+0\cdot1=0$.
Когда это действительно нужно
- Если произведение можно раскрыть скобками сначала, сделайте это — может быть проще ($x^2\cdot x^3=x^5\Rightarrow5x^4$).
- Но когда множители не упрощаются (как в $x^2\sin x$ или $e^x\ln x$), необходимо использовать правило.
- Свободно комбинируйте его со степенным правилом и элементарными производными для каждого множителя.
- Подпишите $f,f',g,g'$ сначала — организованное ведение учета предотвращает ошибки.
Для $y=x^2\cdot x^3$ самым разумным первым шагом будет...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Упрощение до $x^5$ сначала проще: $5x^4$. Используйте Правило произведения только тогда, когда множители не могут быть объединены.
В каждом слагаемом Правила произведения что верно?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
В каждом слагаемом дифференцируется один множитель; два слагаемых суммируются. Дифференцирование обоих множителей в одном слагаемом — классическая ошибка.
Правило произведения — это $f'g+fg'$, а не $f'g'$. Нужны оба члена, и каждый сохраняет другой множитель недифференцированным. Очень распространенная ошибка — продифференцировать оба множителя в одном члене — не делайте этого. В каждом члене дифференцируется ровно один множитель.
Найдите производную от $y=(3x^2)(\sin x)$.
- $f=3x^2\Rightarrow f'=6x$; $\quad g=\sin x\Rightarrow g'=\cos x$.
- $y'=f'g+fg'=6x\sin x+3x^2\cos x$.
- Ни один из множителей нельзя было упростить, поэтому потребовалось правило произведения.
Правило произведения: $\frac{d}{dx}[fg]=f'g+fg'$ — дифференцируйте один множитель за раз и складывайте. Используйте его, когда произведение дифференцируемых функций нельзя упростить заранее. Это не $f'g'$; каждый член дифференцирует ровно один множитель.