Производные cos x, sin x, eˣ и ln x
Введено| English | Значение |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | показательная функция |
| logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/ | логарифмический |
| elementary derivatives/ˌelɪˈmentəri dɪˈrɪvətɪvz/ | элементарные производные |
Четыре производные, которые стоит выучить наизусть
- Правило степени заканчивается на степенях $x$. За ними следуют элементарные функции.
- Четыре из них встречаются постоянно, поэтому знание их производных обязательно.
- Это $\sin x$, $\cos x$, $e^x$ и $\ln x$.
- Выучите эти четыре производные, и вместе с предыдущими правилами вы сможете дифференцировать огромный спектр выражений.
Тригонометрическая пара
- $\dfrac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ — обратите внимание на знак минус.
- Удобная проверка: наклон графика функции $\sin x$ в точке $0$ равен $1$ (самое крутое возрастание), и это соответствует $\cos 0=1$. ✓
- (Эти формулы требуют, чтобы углы $x$ были выражены в радианах — чистые формулы верны только там).
Наклон синуса равен косинусу
Там, где $\sin x$ круче всего (в точке $0$), его наклон составляет $1$ — точно $\cos 0$. Производная от $\sin$ равна $\cos$.
Чему равно $\dfrac{d}{dx}[\sin x]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cos x]=$ ____ $\sin x$ (учтите знак).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Производная косинуса равна $-\sin x$.
Показательная и логарифмическая функции
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — показательная функция является собственной производной. Её наклон всегда равен её значению.
- $\dfrac{d}{dx}[\ln x]=\dfrac{1}{x}$ — производная логарифмической функции, справедливая для $x>0$.
- $e^x$ — единственная функция, которая не изменяется при дифференцировании.
- $\ln x$ превращается в простой обратный $\tfrac1x$ — удивительно аккуратный результат.
$e^x$ является собственной производной.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — уникален среди функций.
Чему равно $\dfrac{d}{dx}[\ln x]$ (для $x>0$)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$.
Смешайте их с правилами сложения
- Эти элементарные производные подставляются непосредственно в правила суммы, разности и умножения на константу.
- $\dfrac{d}{dx}[3\sin x-2e^x]=3\cos x-2e^x$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2+\ln x]=2x+\dfrac1x$.
- Продифференцируйте каждый член по отдельному правилу, затем объедините — ничего нового учить не придется, кроме четырех фактов.
Найдите производную от $3\sin x-2e^x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$3\cos x$ и $e^x$ остаются $e^x$: $3\cos x-2e^x$.
Выберите все правильные элементарные производные.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Последний вариант неверен — это $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$, а не $x$.
Следите за знаками и областью определения. $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ (минус — самая частая ошибка). $e^x$ является собственной производной — не применяйте к нему правило степени. А $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$ справедливо только для $x>0$, области определения $\ln$.
Найдите производную от $h(x)=4\cos x+e^x-5\ln x$.
- $\dfrac{d}{dx}[4\cos x]=4(-\sin x)=-4\sin x$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$; $\quad\dfrac{d}{dx}[-5\ln x]=-\dfrac{5}{x}$.
- $h'(x)=-4\sin x+e^x-\dfrac{5}{x}$.
Запомните четыре элементарные производные: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$. Они сочетаются с правилами суммы/разности/умножения на константу для дифференцирования смешанных выражений. Следите за минусом у $\cos$, держите $x$ в радианах и помните, что $e^x$ является собственной производной.