Определение производной функции и использование обозначений производной
Введено| English | Значение |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | производная |
Производная: мгновенная скорость, упакованная в функцию
- Мгновенная скорость изменения настолько полезна, что получила собственное название: производная.
- Она превращает фразу «наклон касательной в каждой точке $x$» в совершенно новую функцию, обозначаемую $f'(x)$.
- Подайте ей аргумент $x$, и она вернёт наклон касательной $f$ именно в этом месте.
- Этот урок уточняет определение и демонстрирует нотации, которые вы будете использовать повсюду.
Производная — это наклон касательной
y = x²
Перетащите точку вдоль кривой — число, которое показывает наклон касательной, точно равно $f'(x)$ при данном значении аргумента.
Определение через предел
- Производная функции $f$ определяется как
-
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
- Внутри находится разностное отношение — наклон секущей на интервале шириной $h$.
- Переход к $h\to0$ сужает интервал до нуля, превращая наклон секущей в наклон касательной.
Какое выражение представляет определение предела для $f'(x)$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Производная — это предел разностного отношения при $h\to0$.
Версия «в точке»
- Чтобы найти наклон в конкретной точке ввода $a$, используйте альтернативную форму:
-
$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
- Здесь $x$ приближается к $a$ вместо того, чтобы шаг $h$ стремился к $0$ — та же идея, иное оформление.
- Оба определения — это просто «наклон секущей в пределе», поэтому они всегда совпадают.
Вы можете вычислить $f'(x)$, подставив $h=0$ непосредственно в $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Это дает $\tfrac00$; после упрощения необходимо взять предел.
Альтернативная форма $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ лучше всего описывается как...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Это тот же самый наклон касательной в точке $a$, но выраженный через $x\to a$ вместо $h\to0$.
Чтение обозначений
- Одна и та же производная может иметь несколько записей — учитесь распознавать все из них:
- Лагранж: $f'(x)$ (читается как «$f$-я производная от $x$»).
- Лейбниц: $\dfrac{dy}{dx}$ или $\dfrac{d}{dx}[f(x)]$ — подчеркивает «скорость изменения $y$ по отношению к $x$».
- Все они означают мгновенную скорость изменения, т. е. наклон касательной линии в точке $x$.
Обозначение Лейбница $\dfrac{dy}{dx}$ означает то же самое, что и $f'(x)$: ____ касательной линии.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Оба обозначения означают мгновенную скорость изменения = наклон касательной.
Выберите все обозначения, которые означают производную от $y=f(x)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Первые три являются производной; $f(x)^{-1}$ — это обратная величина/обратная функция, а не производная.
Вы не можете просто подставить $h=0$ в $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ — это даст $\tfrac00$. Производная — это предел при $h\to0$, который вы вычисляете, сначала упростив разностное отношение (сократив $h$), а затем позволяя $h\to0$ стремиться к нулю. Пропуск шага с пределом — классическая ошибка.
Из определения следует, что $f(x)=x^2$ дает $f'(x)=2x$. Вычислите $f'(3)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(3)=2\cdot3=6$.
Используйте определение, чтобы найти $f'(x)$ для функции $f(x)=x^2$.
- $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$.
- $=\dfrac{2xh+h^2}{h}=2x+h$ (для функции $h\neq0$).
- $\displaystyle\lim_{h\to0}(2x+h)=2x$, следовательно $f'(x)=2x$.
Производная $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (или форма в точке $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$) — это предел разностного отношения, то есть наклон касательной линии, иначе говоря, мгновенная скорость изменения. Запишите её как $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ или $\frac{d}{dx}[f(x)]$.