Оценка производных функции в точке
Введено| English | Значение |
|---|---|
| estimate/ˈestɪmət/ | оценка |
| difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ | разностное отношение |
Измерение наклона, который нельзя вычислить точно
- Иногда у вас есть график или таблица, а не формула, но вы всё равно хотите найти $f'$ в точке.
- Вы можете оценить производную по имеющимся данным.
- По графику: определите крутизну касательной линии визуально.
- По таблице: используйте разностное отношение для ближайших доступных значений.
Оцените наклон визуально
y = x²
Переместите точку и наблюдайте за касательной — её крутизна представляет собой производную, которую можно оценить по графику.
По графику: крутизна касательной
- Нарисуйте (или представьте) касательную линию в точке, затем прочитайте её наклон как отношение подъёма к горизонтальному перемещению.
- Выберите две чёткие точки на касательной, а не на кривой, и вычислите $\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
- Более крутая касательная → больший $|f'|$; горизонтальная касательная → $f'\approx0$.
- Касательная направлена вверх → положительная производная; вниз → отрицательная.
Чтобы оценить $f'(a)$ по графику, следует измерить наклон...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Производная — это наклон касательной, считанный по точкам на касательной линии.
Из таблицы: ближайшее разностное отношение
- Имея значения таблицы, аппроксимируйте $f'(a)$ с помощью разностного отношения для ближайших точек:
- Симметричная оценка наиболее точна: $f'(a)\approx\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$, используя по одной точке с каждой стороны.
- Или используйте одностороннее отношение $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$, если доступен только один сосед.
- Меньшее $h$ (ближайшие значения) обычно даёт более точную оценку.
Таблица содержит значения $f(1.9)=4.2$ и $f(2.1)=5.8$. Используйте симметричное разностное отношение для оценки $f'(2)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{5.8-4.2}{2(0.1)}=\dfrac{1.6}{0.2}=8$.
Использование значений входных данных, более близких к точке, обычно улучшает оценку производной по таблице.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Меньший интервал лучше аппроксимирует наклон касательной.
Производная, прочитанная из таблицы или графика, является ____, а не точным значением.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Только алгебраические преобразования формулы дают точную производную.
Из $f(3)=10$ и $f(3.2)=11.4$ оцените $f'(3)$ с помощью одностороннего разностного отношения.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{11.4-10}{3.2-3}=\dfrac{1.4}{0.2}=7$.
Чтение знака и величины
- Знак оценки указывает направление изменения $f$: $+$ растёт, $-$ убывает.
- Величина показывает скорость: производная равная $12$ означает, что величина $f$ изменяется примерно на $12$ единицы на единицу $x$ в данной точке.
- Всегда указывайте единицы измерения и интерпретируйте результат в контексте (например, «температура повышается примерно на $2^\circ$°C в минуту»).
- Оценка является приближением — укажите это и используйте ближайшие данные.
Если оцененная производная в точке отрицательна, то функция в этой точке...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Отрицательная скорость означает, что функция убывает там.
При оценке по графику читайте наклон касательной линии, а не близкой секущей, и берите обе точки именно с касательной, а не с кривой. По таблице не используйте саму точку $a$ в качестве обоих аргументов — вам нужны два различных значения, охватывающих (или приближающихся к) $a$.
Таблица содержит значения $f(1.9)=4.2$, $f(2)=5.0$ и $f(2.1)=5.9$. Оцените $f'(2)$.
- Симметричное разностное отношение: $f'(2)\approx\dfrac{f(2.1)-f(1.9)}{2(0.1)}=\dfrac{5.9-4.2}{0.2}=\dfrac{1.7}{0.2}=8.5$.
- (Односторонняя оценка $\dfrac{5.9-5.0}{0.1}=9$ близка, но менее сбалансирована.)
- Следовательно, $f'(2)\approx8.5$ — $f$ возрастает примерно на $8.5$ единиц на единицу $x$.
Чтобы оценить производную: по графику прочитайте наклон касательной линии (отношение подъёма к горизонтальному перемещению по точкам на касательной); по таблице используйте разностное отношение для ближайших значений — симметричное отношение $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ наиболее точно. Знак указывает направление, величина — скорость.