Подтверждение непрерывности на интервале
Введено| English | Значение |
|---|---|
| interval/ˈɪntəvl/ | интервал |
| domains/dəˈmeɪnz/ | область определения |
От одной точки до целого отрезка
- Непрерывность в одной точке хороша; обычно мы хотим её на всём интервале.
- Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке внутри него.
- Именно это позволяет нарисовать весь участок, не отрывая ручки от бумаги.
- Два нюанса: как обращаться с концами и какие знакомые функции являются автоматически непрерывными.
Непрерывна на всём изображении
y = ax³ + bx
Многочлен непрерывен на любом интервале — нет ни дыр, ни скачков, ни ухода в бесконечность нигде.
Открытые и закрытые интервалы
- На открытом интервале $(a,b)$: проверьте трехусловную непрерывность во всех внутренних точках.
- На закрытом интервале $[a,b]$: также обработайте концы, где можно приближаться только с одной стороны.
- В левой границе $a$ требуйте непрерывности справа: $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$.
- В правой границе $b$ требуйте непрерывности слева: $\displaystyle\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)$.
На левом конце $a$ замкнутого интервала $[a,b]$ непрерывность требует...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
К левому концу можно приблизиться только справа, поэтому требуется правосторонняя непрерывность.
Для $f(x)=\sqrt x$ на $[0,9]$, проверка левосторонней непрерывности на правом конце требует $\lim_{x\to9^-}\sqrt x$. Чему равно это значение?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\sqrt 9 = 3$, которое равно $f(9)$, поэтому $f$ левосторонне непрерывно там.
Функции, которые «предварительно непрерывны»
- На своих естественных областях определения эти семейства непрерывны везде:
- Многочлены — непрерывны для всех действительных $x$.
- Рациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции — непрерывны там, где они определены.
- Таким образом, рациональная функция непрерывна кроме точек, где её знаменатель равен нулю; $\ln x$ непрерывна для $x>0$.
Какая функция непрерывна для всех действительных $x$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Многочлены непрерывны везде; остальные имеют пробелы в области определения.
Выберите все семейств функций, которые непрерывны на всей своей естественной области определения.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Все четыре непрерывны на протяжении своих областей определения — область определения просто исключает проблемные точки (например, рациональная функция обнуляется при нуле знаменателя).
Почему это важно: открывает теоремы
- Непрерывность на закрытом интервале — это входной билет к крупным теоремам впереди.
- Теорема о промежуточном значении (1.16) и теорема о крайних значениях (Раздел 5) обе требуют непрерывности на $[a,b]$.
- Пропустите проверку непрерывности, и эти теоремы просто не будут применяться — распространенная ловушка на экзаменах.
- Поэтому подтверждение непрерывности на интервале — это не пустая трата времени; это гипотеза, на которой держится всё остальное.
$f(x)=\dfrac1x$ непрерывна на интервале $[-1,1]$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$0\in[-1,1]$ и $f$ уходят в бесконечность там, поэтому она не непрерывна на этом интервале.
Непрерывность на замкнутом интервале является необходимым предпосылкой теоремы о ____ Значении.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Теорема о промежуточных значениях (IVT) и теорема о крайних значениях требуют непрерывности на $[a,b]$.
"Непрерывна на своей области определения" не то же самое, что "непрерывна везде." $f(x)=\dfrac1x$ непрерывна на своей области определения (все $x\neq0$), но она не непрерывна на $[-1,1]$, потому что $0$ находится в этом интервале, а $f$ уходит в бесконечность там. Всегда проверяйте, что интервал избегает проблемных мест.
Является ли $f(x)=\sqrt{x}$ непрерывной на $[0,4]$?
- Внутренние точки $(0,4)$: $\sqrt x$ непрерывна (стандартная функция на своей области определения). ✓
- Левый конец $0$: $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\sqrt x=0=f(0)$ — непрерывна справа. ✓
- Правый конец $4$: $\displaystyle\lim_{x\to4^-}\sqrt x=2=f(4)$ — непрерывна слева. ✓
- Значит, $f$ непрерывна на замкнутом интервале $[0,4]$.
Функция $f$ является непрерывной на интервале, когда она непрерывна в каждой точке внутри, используя одностороннюю непрерывность на концах закрытого интервала. Многочлены, рациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции непрерывны на своих областях определения. Эта непрерывность на интервале является гипотезой, от которой зависят IVT и EVT.