Устранение разрывов
Введено| English | Значение |
|---|---|
| piecewise function/ˈpiːswaɪz ˈfʌŋkʃn/ | кусочно-заданная функция |
Заклеивание дыры
- Устранимый разрыв — это дыра, где предел существует, но значение неверно или отсутствует.
- Поскольку предел — это совершенно нормальное число, вы можете переопределить функцию в этой одной точке, чтобы заполнить дыру.
- Присвойте значение точки равным пределу — теперь кривая будет плавно проходить через неё.
- Это восстановление непрерывности: возможно только для устранимого типа.
Кривая за дырой
y = x + 3
Сокращённая функция $y=x+3$ — прямая линия; заполнение дыры просто строит точку, через которую уже проходит эта линия.
Решение для таинственной константы
- Часто кусочно-заданная функция имеет неизвестную константу $k$, и нужно выбрать $k$, чтобы сделать её непрерывной.
- Правило — условие (3): сделайте предел равным значению на стыке.
- Приравняйте две части в точке соединения и решите относительно $k$.
- Одно уравнение, одна неизвестная — чистая алгебра.
Чтобы сделать кусочно-заданную функцию непрерывной в месте стыка, приравняйте предел значению функции ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Это условие (3) непрерывности: предел $=$ равен значению.
Разобранный шаблон
- Предположим, что $f(x)=\begin{cases}x+k,&x<2\\3x-1,&x\ge2\end{cases}$ должна быть непрерывной в точке $x=2$.
- Предел слева: $2+k$. Значение справа: $3(2)-1=5$.
- Непрерывность требует $2+k=5$, значит $k=3$.
- При $k=3$ две части встречаются точно — без скачка, непрерывная функция.
Для непрерывности $f(x)=\begin{cases}x+k,&x<2\\3x-1,&x\ge2\end{cases}$ при $x=2$ найдите $k$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Приравняйте части при $2$: $2+k=5\Rightarrow k=3$.
Знайте, что нельзя исправить
- Только устранимые дыры исправимы — предел должен уже существовать.
- Скачок (неравные односторонние пределы) имеет разрыв реальной ширины: ни одно переопределение не закроет его.
- Бесконечный разрыв уходит в бесконечность: никакое значение не усмирит асимптоту.
- Сначала классифицируйте; если двусторонний предел отсутствует, разрыв является постоянным.
Какой разрыв можно устранить переопределением одной точки?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Только устранимый тип имеет двусторонний предел, к которому можно привести; скачки и уходы в бесконечность исправить нельзя.
Переопределение $f(c)$ может создать двусторонний предел, которого раньше не существовало.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Одна точка не влияет на предел; если стороны расходятся, переопределение ничего не меняет.
Выберите все разрывы, которые нельзя устранить.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Все, что не имеет двустороннего предела, является постоянным; только устранимую дырку можно заполнить.
Вы можете только "устранить" разрыв там, где двусторонний предел уже существует. Если левый и правый пределы различаются, присвоение $f(c)$ любому числу все равно оставит стороны несогласованными — функция останется разрывной. Переопределение точки никогда не создает предел, которого там не было.
Чтобы убрать дыру $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ при $x=5$, определите $f(5)$ равным пределу. Какое значение?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Предел $=\lim_{x\to5}(x+5)=10$, значит $f(5)=10$.
Найдите $c$ так, чтобы $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3},&x\neq3\\ c,&x=3\end{cases}$ была непрерывной в точке $x=3$.
- Предел: $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$.
- Непрерывность требует $c=\lim_{x\to3}f(x)=6$.
- Присвоение $c=6$ заполняет дыру; $f$ теперь непрерывна в точке $3$.
Устранимый разрыв устраняется путем переопределения $f(c)$ так, чтобы она равнялась (существующему) пределу. Для кусочно-заданной функции с неизвестной константой приравняйте части в точке стыка — предел $=$ значение — и решите уравнение. Прыжок и бесконечный разрывы не имеют двустороннего предела, поэтому они не могут быть устранимыми.