Определение непрерывности в точке
Введено| English | Значение |
|---|---|
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | непрерывный |
"Нарисуй, не отрывая ручки"
- Интуитивно функция является непрерывной в точке $c$, если её график не имеет там разрыва — ни дырки, ни скачка, ни взрыва.
- Но «нет разрыва» требует точного теста, который можно проверить, а не просто оценить на глаз.
- Математический анализ закрепляет это за тремя условиями, все они касаются точки $c$.
- Пройдите все три, и кривая будет плавно проходить через точку $\big(c, f(c)\big)$.
Кривая без разрывов
y = ax² + bx + c
Этот многочлен удовлетворяет всем трём условиям непрерывности в каждой точке — он определён, предел существует, и они совпадают.
Три условия
- (1) Значение функции $f(c)$ определено — точка реально существует (нет дырки).
- (2) Предел $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ существует — оба односторонних предела совпадают (нет скачка, нет взрыва).
- (3) Они равны: значение функции $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ — кривая приходит ровно туда, где расположена точка.
- Все три должны выполняться. Непрерывность в точке $c$ — это именно условия (1) + (2) + (3).
Выберите все условия, необходимые для того, чтобы $f$ была непрерывной при $c$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Три условия: функция определена, предел существует, и они равны. Быть многочленом не обязательно.
Третье условие непрерывности гласит, что предел должен ____ значению функции $f(c)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$.
Нарушение любого из них → разрыв
- Не выполнено (1): точка отсутствует — дырка, даже если предел существует.
- Не выполнено (2): стороны расходятся или функция уходит в бесконечность — скачок или бесконечный разрыв.
- Не выполнено (3): оба существуют, но точка «парит» над кривой — устранимая дырка, отмеченная в другом месте.
- Каждое нарушение соответствует типу разрыва из предыдущего урока.
Если $f(c)=1$ и $\lim_{x\to c}f(x)=4$, то при $c$ функция...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Оба существуют, но расходятся — условие 3 не выполняется, поэтому $f$ разрывна (устранимая дыра).
Проверка конкретной точки
- Подставьте: является ли значение функции $f(c)$ действительным числом? (Условие 1.)
- Возьмите предел с обеих сторон: сходятся ли они к одному значению $L$? (Условие 2.)
- Сравните: равно ли значение функции $L=f(c)$ этому пределу? (Условие 3.)
- Только ответ «да, да, да» заслуживает метки непрерывна в точке $c$.
Знания только того, что $f(c)$ определено, достаточно, чтобы заключить, что $f$ непрерывна при $c$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Также необходимо, чтобы предел существовал и был равен $f(c)$.
Для $f(x)=x^2+1$, является ли $f$ непрерывной при $x=2$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Все три условия выполнены, поэтому $f$ непрерывна при $2$ (многочлены непрерывны везде).
Для непрерывности $f$ при $x=1$ требуется $\lim_{x\to1}f(x)=f(1)$. Если $\lim_{x\to1}f(x)=7$, чему должно быть равно $f(1)$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Условие 3 диктует значение $f(1)=7$.
Необходимы все три условия — проверки только того, что существует $f(c)$, или только того, что существует предел, недостаточно. Функция может иметь совершенно корректный $f(c)=1$ и совершенно корректный $\lim_{x\to c}f(x)=4$, но всё равно быть непрерывной, потому что $1\neq4$ (условие 3 не выполняется).
Является ли $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1},&x\neq1\\[4pt]3,&x=1\end{cases}$ непрерывной в точке $x=1$?
- (1) $f(1)=3$ — определена. ✓
- (2) $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$ — существует. ✓
- (3) $2 \neq 3$ — не равен. ✗
- Условие (3) не выполняется, поэтому $f$ непрерывна в точке $1$ (устранимый разрыв с точкой, отложенной на высоте $3$).
Функция $f$ является непрерывной в точке $c$ тогда и только тогда, когда выполняются три вещи: значение $f(c)$ определено, предел $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ существует, и они равны. Нарушение любого из них приводит к разрыву — нарушенное условие указывает на его тип.