Переменный ток
| English | Русский |
|---|---|
| peak value/piːk ˈvæljuː/ | пиковое значение |
| root-mean-square/ruːt miːn skweə/ | среднеквадратичная скорость |
| alternating current/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈkʌrənt/ | переменный ток |
| sinusoidal/ˌsaɪnəˈsɔɪdl/ | синусоидальный |
| angular frequency/ˈæŋɡjʊlə ˈfriːkwənsi/ | угловая частота |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | радианах |
| cathode-ray oscilloscope/ˈkæθəʊd reɪ ɒˈsɪləskəʊp/ | катодно-лучевой осциллограф |
| time-base/taɪm beɪs/ | временная база |
230 вольт, который никогда не равен 230
- Розетка сети обозначена как $230\ \text{V}$, однако осциллограф показывает, что напряжение колеблется до примерно $325\ \text{V}$ и опускается до $-325\ \text{V}$, пятьдесят раз в секунду.
- Ни одно число не является ошибкой. Сетевое напряжение действительно достигает $325\ \text{V}$, и оно действительно ведет себя как стабильный $230\ \text{V}$ источник питания при нагреве чайника.
- Примирение этих двух фактов является предметом данного урока.
- Инструменты: амплитудное значение, действующее (среднеквадратическое) значение и тот факт, что средняя мощность переменного тока составляет половину от амплитудной мощности.
Период, частота и амплитудное значение
- Переменный ток постоянно меняет направление; сеть является синусоидальной, поэтому $I$ и $V$ следуют синусоидам во времени.
- Период $T$ — это время одного полного цикла. Частота $f$ — это количество полных циклов в единицу времени, следовательно $f = 1/T$.
- Амплитудное значение — это максимальное значение тока или напряжения в цикле. Эти три предложения содержат отмеченные формулировки.
- Среднее значение за весь цикл равно нулю, поскольку вол spends одинаковое время отрицательной и положительной. Именно поэтому вообще требуется действующее значение.
Одна линия, которая никогда не движется, другая, которая никогда не останавливается
Alternating current
I = a sin(bt)
AC is a синусоида wave — amplitude is the peak, b sets the frequency.
An alternating current:
a.c. keeps swapping direction — mains does so 50 (or 60) times a second.
Match each term to the definition the examiner marks.
Each is a fixed wording. The r.m.s. one is the only definition that mentions another current, because that is what it compares itself to.
Чтение уравнения
- Источник записывается как $V = V_0 \sin(\omega t)$. Число перед знаком — это амплитудное значение; число, умножающее $t$, — это угловая частота $\omega = 2\pi f$.
- Так что $f = \omega / 2\pi$ и $T = 1/f$. Угол $\omega t$ выражен в радианах, поэтому переведите калькулятор в радианы перед вычислением любого значения.
- Источник, записанный с $\cos$, представляет ту же волну, начатую с пика, а не с нуля.
In $V = V_0\sin(\omega t)$ the coefficient of $t$ is the ____ frequency, equal to $2\pi f$.
omega is 2pif, so a supply written sin(100pit) has f = 50 Hz, not 100*pi Hz. The angle is in radians, so a calculator left in degrees turns every such step into nonsense.
Разобранный пример: расшифровка уравнения источника
- Источник имеет вид $V = 320\sin(100\pi t)$, где $V$ дан в вольтах, а $t$ в секундах. Найдите амплитудное значение, частоту, период и действующее напряжение, а также первое время после $t = 0$, когда $V = 160\ \text{V}$.
- Пик: $V_0 = 320\ \text{V}$. Угловая частота: $\omega = 100\pi\ \text{rad/s}$, следовательно $f = 100\pi / 2\pi = 50\ \text{Hz}$ и $T = 1/50 = 0.020\ \text{s}$.
- $V_{\text{r.m.s.}} = 320/\sqrt{2} = 226\ \text{V}$.
- Для $V = 160\ \text{V}$: $\sin(100\pi t) = 0.5$, следовательно $100\pi t = \pi/6$ и $t = 1/600 = 1.7 \times 10^{-3}\ \text{s}$. В режиме градусов этот последний шаг даст бессмыслицу.
Mains supply is $50\ \text{Hz}$. What is its period?
$T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{50} = 0.020\ \text{s}$.
Чтение трека осциллографа
- Катодно-лучевой осциллограф считывается точно так же, как в Разделе 7.
- Горизонтальная ось: подсчитайте деления для одного полного цикла и умножьте на установку временной шкалы. Это даст $T$, а затем $f = 1/T$.
- Вертикальная ось: подсчитайте деления от центральной линии до пика и умножьте на усиление по $y$. Это даст $V_0$. Измерение «пик-пик» и деление на два обычно более точно, так как центральную линию легко неправильно оценить.
On a CRO trace one complete cycle spans 4.0 divisions with the time-base at 5.0 ms per division. What is the frequency, in Hz?
T = 4.0 x 5.0 ms = 20 ms, so f = 1/0.020 = 50 Hz. Count divisions for a WHOLE cycle, not a half.
Мощность в резисторе
- Для актив нагрузки мгновенная мощность равна $P = I^2 R$, а при использовании $I = I_0\sin(\omega t)$:
- Она всегда положительна, поскольку ток возводится в квадрат, поэтому изменяющийся ток все равно нагревает резистор. Мощность пульсирует между нулем и $I_0^2 R$ с частотой, вдвое превышающей частоту тока.
- Среднее значение $\sin^2$ за цикл равно $\tfrac{1}{2}$, поэтому средняя мощность составляет половину амплитудной мощности.
Вдвое больше частоты и никогда не отрицательна
The average power of a.c. in a resistor is ____ the peak power.
The mean of $\sin^{2}$ over a cycle is $\tfrac{1}{2}$, so $\langle P\rangle = \tfrac{1}{2}P_{\text{peak}}$.
Разобранный пример: доказательство того, что это половина
- Источник с амплитудным напряжением $12\ \text{V}$ питает резистор сопротивлением $680\ \Omega$. Докажите расчетами, что средняя мощность равна половине пиковой мощности.
- Пиковая мощность, в момент, когда напряжение максимально: $P_0 = V_0^2/R = 12^2/680 = 0.212\ \text{W}$.
- Средняя мощность через действующее значение: $V_{\text{r.m.s.}} = 12/\sqrt{2} = 8.49\ \text{V}$, следовательно $\langle P\rangle = V_{\text{r.m.s.}}^2/R = 8.49^2/680 = 0.106\ \text{W}$.
- Они показаны отдельно, и второе равно половине первого. Запись «половина от $0.212$» не засчитывается, потому что именно это и нужно было доказать.
- Множитель $\tfrac{1}{2}$ — это просто $(1/\sqrt{2})^2$: коэффициент действия, возведенный в квадрат.
Что на самом деле означает r.m.s.
- Действующее значение переменного тока — это значение постоянного (стабильного) тока, которое выделяло бы такую же среднюю мощность в том же резисторе. Это предложение содержит определение на два балла, а «через нагревательный эффект» требует именно этого.
- Из $\langle P\rangle = I_{\text{r.m.s.}}^2 R = \tfrac{1}{2}I_0^2 R$ следует, что для синусоидальной волны:
- Определение, гласящее лишь «$I_0/\sqrt{2}$», не засчитывается, так как эта формула справедлива только для синусоидальной волны.
- Приводимые значения переменного тока являются действующими, что разрешает начальную загадку: сеть $230\ \text{V}$ имеет действующее значение $V_0 = 230\sqrt{2} \approx 325\ \text{V}$, а компоненты должны быть рассчитаны на пиковое значение.
Одна штриховая линия, обеспечивающая такое же нагревание
An a.c. has a peak current of $2.0\ \text{A}$. What is the r.m.s. current?
$I_{\text{rms}} = \dfrac{I_0}{\sqrt{2}} = \dfrac{2.0}{\sqrt{2}} \approx 1.41\ \text{A}$.
A 230 V (r.m.s.) mains supply has a peak voltage of about 325 V.
$V_0 = V_{\text{rms}}\sqrt{2} = 230 \times \sqrt{2} \approx 325\ \text{V}$ — components must be rated for the peak.
Which statements belong in the definition of an r.m.s. current? Select все that apply.
The last one is a consequence for a sine wave, not the definition. A definition giving only I0/sqrt(2) scores nothing, because it is false for any other waveform.
Разобранный пример: волна, не являющаяся синусоидой
- Ток равен $+2.0\ \text{A}$ в первой половине каждого цикла и $-1.0\ \text{A}$ во второй. Найдите его действующее значение и среднюю мощность на резисторе $10\ \Omega$.
- Возьмите название буквально. Квадрат: $4.0\ \text{A}^2$ половину времени, $1.0\ \text{A}^2$ другую половину. Среднее: $(4.0 + 1.0)/2 = 2.5\ \text{A}^2$. Корень: $I_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.5} = 1.6\ \text{A}$.
- Средняя мощность $= I_{\text{r.m.s.}}^2 R = 2.5 \times 10 = 25\ \text{W}$.
- Знак тока никогда не имеет значения, потому что он возводится в квадрат. А $I_0/\sqrt{2}$ дало бы $1.4\ \text{A}$, что неверно: этот трюк подходит только для синусоидальных волн.
Put the steps for finding the r.m.s. value of a non-sinusoidal current in order.
Root-mean-square, read backwards. For a square wave of +2.0 A and -1.0 A the mean square is 2.5 A^2 and the r.m.s. is 1.6 A, not the 1.4 A that I0/sqrt(2) would give.
Потерянные баллы
- Определение действующего значения относится к той же мощности в том же резисторе, а не к делению на $\sqrt{2}$. Цитируйте предложение, а не формулу.
- «Докажите, что средняя мощность равна половине пиковой» требует двух отдельных вычислений. Деление первого пополам — это круговое доказательство.
- Переведите калькулятор в режим радианов перед вычислением $\sin(\omega t)$.
- $\omega$ — это не частота. Сначала разделите на $2\pi$.
- Средний ток за цикл равен нулю; средняя мощность нет, так как мощность зависит от $I^2$.
Вы поняли
- период — время одного полного цикла, частота — количество полных циклов в единицу времени, пиковое значение — максимальное значение в цикле
- в $V = V_0\sin(\omega t)$ коэффициент при $t$ равен $\omega = 2\pi f$, а угол выражен в радианах
- мощность в резисторе пульсирует с удвоенной частотой и никогда не бывает отрицательной, поэтому средняя мощность равна половине пиковой мощности
- действующее значение — это постоянный направленный ток, рассеивающий ту же среднюю мощность в том же резисторе; только для синусоидальной волны оно равно $I_0/\sqrt{2}$