Разрядка конденсатора
| English | Русский |
|---|---|
| discharge/dɪsˈtʃɑːdʒ/ | разрядка |
| time constant/taɪm ˈkɒnstənt/ | постоянная времени |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | экспоненциального спада |
Затухание, которое никогда полностью не заканчивается
- Разряжающийся конденсатор теряет 63% своего заряда за первый временной интервал, затем 63% от оставшегося за следующий, и так далее бесконечно.
- После пяти временных интервалов остается менее 1%, но кривая никогда не достигает нуля. Она не может этого сделать, потому что скорость потери всегда пропорциональна тому, что осталось.
- Любая величина, ведущая себя таким образом, включая радиоактивный распад, дает ту же кривую, поэтому изучение ее один раз служит дважды.
- Этот урок посвящен уравнениям разряда, временному интервалу и логарифмическому графику, который превращает кривую в прямую линию.
Откуда берется экспонента
- Замкните выключатель, и напряжение на конденсаторе создает ток через резистор. Второй закон Кирхгофа дает $V_C = V_R$, а с учетом $V_C = Q/C$, $V_R = IR$ и $I = -dQ/dt$:
- Скорость уменьшения пропорциональна оставшемуся заряду. Это определяющее свойство экспоненциального затухания, и именно поэтому кривая выполаживается при снижении.
During discharge through a resistor, the charge on a capacitor:
The bigger the charge, the bigger the current — giving an exponential decay.
Why is a capacitor's discharge exponential?
Q/C = -R dQ/dt says exactly that. Every quantity with this property, radioactive decay included, gives the same curve.
Три уравнения
- Заряд, напряжение и ток затухают одновременно, с одним и тем же временным интервалом:
- Ток максимален в момент замыкания выключателя, $I_0 = V_0/R$, поскольку тогда полное начальное напряжение приложено к резистору. Он падает вместе с напряжением.
- Площадь под графиком зависимости тока от времени равна прошедшему заряду. Все три кривые имеют одинаковую форму, поэтому измерение $\tau$ для любой из них дает $RC$.
Сначала крутая, затем все более пологая и никогда совсем не нулевая
Charge / discharge curve
The voltage rises (or decays) exponentially with time constant τ = RC.
Разрядка конденсатора
Q = Q₀·bᵗ
Зарядка распадается exponentially through the resistor.
The charge during discharge is given by:
Discharge falls toward zero: $Q = Q_0 e^{-t/RC}$ (the $1 - e^{-t/RC}$ form is for зарядка).
Временной интервал
- Временной интервал определяется как:
- Его единица измерения — секунда, поскольку ом умножить на фарад дает секунду.
- Это время, за которое убывающая величина падает до $\dfrac{1}{e} \approx 37\%$ своего начального значения. Через $2\tau$ остается примерно 13.5%, а через $5\tau$ — менее 1%.
- Большое $R$ или большое $C$ означает медленный разряд: большой запас, опустошаемый через узкую трубку.
A capacitor of $500\ \mu\text{F}$ discharges through a $2000\ \Omega$ resistor. What is the time constant?
$\tau = RC = 2000 \times 500 \times 10^{-6} = 1.0\ \text{s}$.
After one time constant, the charge falls to about ____ % of its starting value.
It falls to $\dfrac{1}{e} \approx 0.37$, i.e. about 37%.
After 5 time constants, less than 1% of the charge remains.
$e^{-5} \approx 0.0067$, so under 1% is left — effectively fully discharged.
A capacitor charged to 24 V discharges through a 5.6 kilo-ohm resistor. What is the initial current, in mA?
At the instant the switch closes the whole p.d. is across the resistor, so I0 = V0/R = 24/5600 = 4.3 mA. It then decays with the same time constant as the charge.
Разобранный пример: задача на полный разряд
- Конденсатор емкостью $470\ \mu\text{F}$, заряженный до напряжения $24\ \text{V}$, разряжается через резистор сопротивлением $5.6\ \text{k}\Omega$. Найдите временной интервал, начальный ток, напряжение через время $4.0\ \text{s}$ и время, за которое напряжение упадет до $6.0\ \text{V}$.
- $\tau = RC = (5.6 \times 10^3)(470 \times 10^{-6}) = 2.6\ \text{s}$, и $I_0 = V_0/R = 24/5600 = 4.3\ \text{mA}$.
- Через время $4.0\ \text{s}$: $V = V_0 e^{-t/RC} = 24\,e^{-4.0/2.63} = 5.3\ \text{V}$.
- Для нахождения времени возьмите логарифмы: $t = -RC\ln(V/V_0) = -2.63\ln(6.0/24) = 3.6\ \text{s}$.
- Сохраняйте $\tau$ без округления внутри расчета и округляйте только в конце. И учтите, что $\ln(V/V_0)$ отрицательно, поэтому знак минус делает $t$ положительным: эта перестановка — самый частый вопрос и самая частая ошибка.
After one time constant, about 37% of the original charge remains on the capacitor.
It falls to 1/e of its starting value, about 37%. After two it is at about 13.5%, and after five below 1%, though it never quite reaches zero.
Разобранный пример: снятие значений $\tau$ с графика
- Напряжение на конденсаторе емкостью $2200\ \mu\text{F}$ уменьшается с $6.0\ \text{V}$ до $2.2\ \text{V}$ за время $4.5\ \text{s}$. Найдите сопротивление.
- Сначала проверьте отношение: $2.2/6.0 = 0.367$, что равно $1/e$. Значит, $4.5\ \text{s}$ является одним временным интервалом.
- Затем $R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^3\ \Omega$.
- Если падение происходит не до $1/e$, используйте $RC = -t/\ln(V/V_0)$ вместо него. Ответ будет тем же в обоих случаях, но распознавание $1/e$ экономит шаг.
A capacitor with time constant 2.63 s is charged to 24 V. How long, in seconds, until the p.d. falls to 6.0 V?
t = -RC ln(V/V0) = -2.63 ln(0.25) = 3.6 s. ln(0.25) is negative, so the minus sign makes t positive; that rearrangement is the most often botched.
Логарифмический график
- Возьмите логарифмы от $V = V_0 e^{-t/RC}$:
- Так что график зависимости $\ln V$ от $t$ представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом $-1/RC$ и пересечением со осью $\ln V_0$.
- Это стандартный экспериментальный метод: он превращает кривую в линию, поэтому $RC$ находится из углового коэффициента, а не из отдельного показания, и любое отклонение от прямой линии указывает на то, что затухание не является экспоненциальным.
The p.d. across a 2200 uF capacitor falls from 6.0 V to 2.2 V in 4.5 s. Put the steps of finding the resistance in order.
If the fall is not to 1/e, use RC = -t/ln(V/V0) instead. The answer is the same, but spotting the 1/e saves a step.
Потерянные баллы
- $\tau = RC$ — это время в секундах, а не дробь. После одного $\tau$ величина находится на уровне 37%, а не 63% ушла и остановилась.
- Ток максимален в начале, когда всё напряжение приложено к резистору, и он затухает с тем же временным интервалом, что и заряд.
- Чтобы найти время, возведите в логарифм: $t = -RC\ln(V/V_0)$. Сохраняйте временной интервал без округления в ходе вычислений.
- На графике зависимости $\ln V$ от $t$ угловой коэффициент равен $-1/RC$, поэтому $RC$ равен минус обратной величине углового коэффициента.
A graph of ln V against t for a discharging capacitor is a straight line. What is its gradient?
Taking logs of V = V0 exp(-t/RC) gives ln V = ln V0 - t/RC. So RC is minus the reciprocal of the gradient, and the straight line itself confirms the decay is exponential.
Вы поняли
- скорость потерь пропорциональна оставшемуся заряду, поэтому затухание экспоненциальное: $Q = Q_0e^{-t/RC}$, а $V$ и $I$ затухают идентично
- ток начинается с $I_0 = V_0/R$, а площадь под графиком зависимости тока от времени — это заряд, который протёк
- постоянная времени $\tau = RC$ — время, за которое значение падает до $1/e \approx 37\%$; после $5\tau$ остаётся менее 1%
- Возьмите логарифмы, чтобы найти время $t = -RC\ln(V/V_0)$, и график зависимости $\ln V$ от $t$ будет прямой линией с угловым коэффициентом $-1/RC$