Дифракционная решетка
| English | Русский |
|---|---|
| diffraction grating/dɪˈfrækʃn ˈɡreɪtɪŋ/ | дифракционная решётка |
| slits/slɪts/ | щели |
| coherent/kəʊˈhɪərənt/ | цельная |
| monochromatic/ˌmɒnəʊkrəʊˈmætɪk/ | монохромные |
| maxima/ˈmæksɪmə/ | максимумы |
| order/ˈɔːdə/ | порядок |
| normal/ˈnɔːml/ | нормаль |
| spectrum/ˈspektrəm/ | спектр |
Радуга на CD-диске
- Наклоните CD-диск на свет, и вы увидите яркие радужные цвета.
- Тонкие дорожки диска действуют как дифракционная решетка, разделяя свет по длинам волн.
- Решетки используются для точного измерения длин волн.
Что такое решетка
- Решетка имеет множество равноотстоящих щелей — часто сотни на миллиметр.
- Каждая щель является когерентным источником, и все они интерферируют вместе.
Дифракционная решетка расщепляет монохроматический свет на четкие максимумы на экране
Почему решетка дает четкие максимумы
Две волны складываются, когда находятся в фазе, и гасят друг друга, когда в противофазе — измените фазу и наблюдайте результирующую волну. Множество щелей решетки делает яркие полосы очень тонкими.
Дифракционная решетка состоит из:
Сотни или тысячи щелей, расположенных на равном расстоянии друг от друга, каждая из которых действует как когерентный источник.
Уравнение решетки
- Светлые максимумы появляются под углами, заданными формулой $d\sin\theta = n\lambda$.
- $d$ = расстояние между щелями, $n = 0, 1, 2, \ldots$ — порядок, $\theta$ отсчитывается от нормали (направления прямого прохождения).
Свет падает на дифракционную решётку с расстоянием между щелями $2.0\ \mu\text{m}$. Максимум первого порядка ($n=1$) находится там, где $\sin\theta = 0.30$. Найдите длину волны в нм.
$\lambda = \dfrac{d\sin\theta}{n} = \dfrac{2.0 \times 10^{-6} \times 0.30}{1} = 6.0 \times 10^{-7}\ \text{m} = 600\ \text{nm}$.
Острее, чем две щели
- При наличии множества щелей каждое «неправильное» направление компенсируется множеством щелей.
- Поэтому решетка дает гораздо острее максимумы, чем двойная щель.
Опыт Юнга с двойной щелью — одиночная щель делает две щели когерентными источниками
Дифракционная решётка даёт более узкие максимумы, чем двухщелевой экран.
Да — множество щелей взаимно гасит все «неправильные» направления, оставляя лишь узкие и яркие максимумы.
Расстояние между щелями и высший порядок
- $N$ линий на мм → $d = \dfrac{1}{N}\ \text{mm}$.
- Поскольку $\sin\theta \le 1$, высший порядок равен $n_{\text{max}} = \left\lfloor \dfrac{d}{\lambda} \right\rfloor$.
На решётке $500$ линий на мм. Каково расстояние между щелями $d$ в мкм?
$d = \dfrac{1}{500}\ \text{mm} = 0.002\ \text{mm} = 2.0\ \mu\text{m}$.
Для решётки и длины волны со значениями $\dfrac{d}{\lambda} = 3.27$ максимальная наблюдаемая порядок:
$n_{\text{max}} = \left\lfloor \dfrac{d}{\lambda} \right\rfloor = \lfloor 3.27 \rfloor = 3$. Для порядка 4 потребуется $\sin\theta > 1$.
Нахождение длины волны
- Направьте свет прямо на решетку и измерьте угол максимума.
- Затем $\lambda = d\sin\theta$ (используйте $n = 1$ для первого порядка); усредните по порядку для уменьшения ошибки.
Чтобы найти длину волны с помощью решётки, вы измеряете ____ максимума.
Измерьте $\theta$ для известного порядка, затем определите $\lambda = \dfrac{d\sin\theta}{n}$.
Разобранное решение: решетка с 500 линиями на мм
Свет с длиной волны $720\ \text{nm}$ падает нормально на решетку с $500$ линиями на мм. Найдите угол между двумя вторыми максимумами, высший видимый порядок и длину волны, которая поместила бы её третьи максимумы под тем же углом.
- Расстояние: $d = \dfrac{1}{500}\ \text{mm} = 2.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$.
- Порядок второго порядка: $\sin\theta = \dfrac{2 \times 720 \times 10^{-9}}{2.0 \times 10^{-6}} = 0.72$, следовательно $\theta = 46^\circ$. Два максимума второго порядка расположены по обе стороны от центра, поэтому угол между ними составляет $2 \times 46^\circ = 92^\circ$.
- Наивысший порядок: $\dfrac{d}{\lambda} = \dfrac{2.0 \times 10^{-6}}{720 \times 10^{-9}} = 2.8$, следовательно $n_{\text{max}} = 2$ — для третьего порядка потребовалось бы $\sin\theta > 1$.
- Тот же угол, третий порядок: $3\lambda = 2 \times 720\ \text{nm}$, следовательно $\lambda = 480\ \text{nm}$ (синий).
- Проверка: при том же угле $d\sin\theta$ остается неизменным, значит $n\lambda$ также фиксирован: более высокий порядок требует пропорционально меньшей длины волны.
Свет с длиной волны $600\ \text{nm}$ падает нормально на решётку с $400$ линиями на мм. Чему равен угол в градусах между двумя максимумами первого порядка?
$d = \dfrac{1}{400}\ \text{mm} = 2.5 \times 10^{-6}\ \text{m}$; $\sin\theta = \dfrac{600 \times 10^{-9}}{2.5 \times 10^{-6}} = 0.24$, следовательно $\theta = 13.9^\circ$, а угол между двумя максимумами составляет $2\theta = 27.8^\circ$.
$\theta$ отсчитывается от нормали, а не от поверхности решетки, а «угол между двумя максимумами первого порядка» означает $2\theta$. Округляйте $\dfrac{d}{\lambda}$ в меньшую сторону для определения наивысшего порядка — значение $\sin\theta$ выше $1$ не имеет угла, поэтому этот порядок просто не существует. И переведите «линий на мм» в расстояние между щелями в метрах перед началом вычислений.
В уравнении решётки $d\sin\theta = n\lambda$ угол $\theta$ отсчитывается от поверхности решётки.
$\theta$ отсчитывается от нормали — прямого направления нулевого порядка. Отсчёт от поверхности заменяет синус на косинус и даёт неверную длину волны.
Белый свет через дифракционную решетку
- Нулевой порядок белый: каждая длина волны имеет там $\theta = 0$.
- Каждый другой порядок представляет собой спектр, где фиолетовый цвет расположен ближе к центру (наименьшая $\lambda$, наименьший $\theta$), а красный — дальше всего.
- Максимумы более высоких порядков шире, а начиная со второго порядка они могут перекрываться — красный свет порядка 2 может попасть на фиолетовый свет порядка 3.
Белый свет проходит через решётку. Расположите цвета спектра первого порядка по порядку, начиная от центрального максимума.
Исходя из $d\sin\theta = n\lambda$, меньшая длина волны даёт меньший угол, поэтому фиолетовый цвет находится ближе к центру, а красный — дальше всего.
Вы поняли
- Решетка состоит из множества равноотстоящих щелей → дает четкие максимумы
- уравнение решетки $d\sin\theta = n\lambda$, где $\theta$ отсчитывается от нормали; $d = \dfrac{1}{N}$ берется из условия «$N$ линий на мм»
- наивысший порядок $n_{\text{max}} = \left\lfloor \dfrac{d}{\lambda} \right\rfloor$; белый свет дает спектр в каждом порядке, где фиолетовый цвет расположен ближе к центру