Закон Гука, напряжение и деформация
| English | Русский |
|---|---|
| Hooke's law/hʊks lɔː/ | Закон Гука |
| tensile/ˈtensaɪl/ | растягивающий |
| extension/ekˈstenʃn/ | расширение |
| compressive/kəmˈpresɪv/ | сжимающий |
| load/ləʊd/ | нагрузка |
| spring constant/sprɪŋ ˈkɒnstənt/ | жёсткость пружины |
| limit of proportionality/ˈlɪmɪt ɒv prəˌpɔːʃəˈnælɪti/ | предела пропорциональности |
| stress/stres/ | напряжение |
| strain/streɪn/ | деформация (относительное удлинение) |
| Young modulus/jʌŋ ˈmɒdjʊləs/ | модуль Юнга |
Потяните в два раза сильнее
- Потяните пружину в два раза сильнее, и она растянется в два раза дальше.
- Это красивое линейное правило — закон Гука — справедливо до определённого предела.
- Оно позволяет измерять силы с помощью пружин и тестировать материалы.
Растяжение и сжатие
- Растягивающая сила растягивает объект, вызывая удлинение $x$.
- Сжимающая сила сжимает его. Приложенная сила называется нагрузкой (load).
Современный универсальный испытательный станок растягивает образец и записывает силу и удлинение
Закон Гука
F = k·x
Сила пропорциональна удлинению — градиент является жесткостью пружины k.
Закон Гука
- Удлинение пропорционально нагрузке: $F = kx$.
- $k$ — это жесткость пружины (spring constant), в $\dfrac{\text{N}}{\text{m}}$ — наклон прямой на графике $F$–$x$.
пружина, подчиняющаяся закону Гука
Подвесьте груз к реальной пружине: до предела упругости удлинение пропорционально силе; за ним пружина остается растянутой навсегда.
Нагрузка $12\ \text{N}$ растягивает пружину на $0.040\ \text{m}$. Какова жесткость пружины?
$k = \dfrac{F}{x} = \dfrac{12}{0.040} = 300\ \dfrac{\text{N}}{\text{m}}$.
В пределах закона Гука удвоение нагрузки удваивает удлинение.
Да — $F = kx$ представляет собой линейную (пропорциональную) зависимость, поэтому $x$ масштабируется вместе с $F$.
Предел пропорциональности
- Закон Гука выполняется только до предела пропорциональности.
- За его пределами линия $F$–$x$ изгибается — простое $F = kx$ больше не работает.
Пружина подчиняется закону Гука: удлинение пропорционально приложенной силе
Закон Гука $F = kx$ справедлив только до:
За пределами пропорциональности $F$–$x$ график изгибается, и $F = kx$ больше не выполняется.
Полная формулировка закона Гука включает в себя какие из следующих утверждений? Отметьте все подходящие варианты.
Это условие является частью закона, а не дополнительным. Резина ему совсем не подчиняется, а металл перестает ему подчиняться за пределами прямой линии.
Пружины вместе
- Последовательно (конец к концу): $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2}$ — мягче в совокупности.
- Параллельно (рядом): $k_{\text{total}} = k_1 + k_2$ — жестче в совокупности.
Пружины последовательно мягче (1/k складывается); пружины параллельно жестче (k складывается)
Две одинаковые пружины (с жёсткостью $k$ каждая) соединены последовательно. Общая жёсткость пружинной системы равна:
$\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k} = \dfrac{2}{k}$, поэтому $k_{\text{total}} = \tfrac{1}{2}k$ — пара растягивается легче.
Напряжение и деформация
- Напряжение $\sigma = \dfrac{F}{A}$ (сила на площадь, в Па).
- Деформация $\varepsilon = \dfrac{x}{L_0}$ (удлинение ÷ исходная длина — безразмерная величина).
Соотнесите каждую величину с её формулой.
Напряжение — это сила на единицу площади; деформация — относительное удлинение; жёсткость пружины — нагрузка на единицу удлинения.
Сопоставьте каждый термин с определением, которое ставит экзаменатор.
Модуль Юнга — это свойство материала, а жёсткость пружины — свойство образца, поэтому более толстый проводник из того же металла имеет тот же модуль Юнга, но другую жёсткость.
Модуль Юнга
- $E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon} = \dfrac{F L_0}{A x}$, в Па (около $2 \times 10^{11}$ для стали).
- Это свойство самого материала; жесткость пружины $k = \dfrac{EA}{L_0}$ также зависит от размеров.
Материал с модулем Юнга $2.0 \times 10^{11}\ \text{Pa}$ испытывает напряжение $1.0 \times 10^{8}\ \text{Pa}$. Чему равна деформация?
$\varepsilon = \dfrac{\sigma}{E} = \dfrac{1.0 \times 10^{8}}{2.0 \times 10^{11}} = 5.0 \times 10^{-4}$.
Модуль Юнга провода зависит от его длины и толщины.
Нет — модуль Юнга является свойством материала. На размер влияет жёсткость $k = EA/L_0$.
Проводник имеет диаметр 0.50 мм. Какова его площадь поперечного сечения в единицах 1e-7 м^2?
Радиус 0.25 мм = 2.5e-4 м, следовательно A = pi r^2 = 1.96e-7 м^2. Использование диаметра вместо радиуса дает результат в четыре раза больше, что является классической ошибкой в данном случае.
Измерение модуля Юнга
- Используйте длинную тонкую проволоку, чтобы удлинение было достаточным для измерения.
- Найдите площадь по диаметру (микроскоп), нагружайте шаг за шагом и стройте график $F$ против $x$: наклон равен $= \dfrac{EA}{L_0}$.
Длинная тонкая проволока нагружается шаг за шагом; наклон F от x дает EA/L₀
Более толстый проводник из того же металла имеет больший модуль Юнга.
Модуль Юнга — собственное свойство материала, которое не меняется с толщиной. Более толстый проводник имеет большую жёсткость, которая является свойством образца.
Потерянные баллы
- Закону Гука нужны условия. «Удлинение прямо пропорционально приложенной силе» — это лишь половина условия; добавьте «при условии, что предел пропорциональности не превышен».
- Предел пропорциональности — конец прямой линии. Упругий предел — конец упругого поведения, немного дальше него. Это не одна и та же точка.
- В $A = \pi r^2$ используйте радиус, поэтому сначала разделите диаметр пополам и переведите $\text{mm}^2$ в $\text{m}^2$ путем деления на $10^{-6}$, а не умножения на $10^{-3}$.
- Более толстая проволока не имеет большего модуля Юнга. Модуль принадлежит материалу; более толстая проволока имеет большую жесткость пружины.
- Напряжение — это сила на единицу площади поперечного сечения, а деформация — это удлинение на единицу исходной длины. Деформация не имеет размерности.
Вы поняли
- Закон Гука $F = kx$ выполняется до предела пропорциональности
- напряжение $\sigma = \dfrac{F}{A}$, деформация $\varepsilon = \dfrac{x}{L_0}$
- Модуль Юнга $E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}$ — свойство материала, а не его формы