Кинетическая и потенциальная энергия
| English | Русский |
|---|---|
| kinetic energy/kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ | кинетическую энергию |
| gravitational potential energy/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | гравитационная потенциальная энергия |
| thermal energy/ˈθɜːml ˈenədʒi/ | тепловую энергию |
| momentum/məʊˈmentəm/ | импульс |
| elastic potential energy/ɪˈlæstɪk pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | упругая потенциальная энергия |
| compression/kəmˈpreʃn/ | сжатие |
Переворот энергии на американских горках
- На вершине спуска карусель ползёт медленно; у основания она летит со скоростью.
- Высота превратилась в скорость — потенциальная энергия перешла в кинетическую энергию.
- Энергия просто перетекает между двумя видами запасов.
Гравитационная потенциальная энергия
- Подъем массы $m$ на высоту $\Delta h$ запасает энергию $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$.
- Она возникает из работы против силы тяжести: $W = mg \times \Delta h$.
Гравитационная ПЭ зависит только от изменения высоты Δh, а не от пройденного пути
Ветряные турбины преобразуют кинетическую энергию ветра в электрическую энергию
Кинетическая и потенциальная энергия
PE + KE = константа
Потенциальная энергия превращается в кинетическую — общая величина никогда не меняется.
Книгу массой $2.0\ \text{kg}$ поднимают на высоту $5.0\ \text{m}$. Какую потенциальную энергию она приобретает? (Используйте $g = 9.81\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.)
$\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h = 2.0 \times 9.81 \times 5.0 \approx 98\ \text{J}$.
Кинетическая энергия
- Масса $m$, движущаяся со скоростью $v$, обладает энергией $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2}$.
- Она возникает из работы по разгону тела: $W = Fs = \tfrac{1}{2}mv^{2}$.
Тележка массой $4.0\ \text{kg}$ движется со скоростью $3.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Какова её кинетическая энергия?
$E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2} = \tfrac{1}{2} \times 4.0 \times 3.0^{2} = 18\ \text{J}$.
Соотнесите каждый вид запасённой энергии с тем, от чего она зависит.
Два из трёх параметров входят в формулу в квадрате, поэтому удвоение скорости или удлинения увеличивает энергию в четыре раза, тогда как удвоение высоты удваивает только энергию.
Две ловушки. Квадрат: удвоение скорости дает четырехкратное увеличение кинетической энергии, а не двукратное. Высота: $\Delta h$ — это вертикальное изменение высоты, никогда не расстояние вдоль склона — рампа длиной $3\ \text{m}$, опускаясь на $1.5\ \text{m}$, использует $1.5\ \text{m}$.
Обмен энергией
- На гладкой наклонной плоскости потенциальная энергия переходит в кинетическую: $mgh = \tfrac{1}{2}mv^{2}$, следовательно, $v = \sqrt{2gh}$.
- Масса сокращается — каждое тело достигает той же скорости с той же высоты.
- При наличии трения часть её превращается в тепловую энергию.
Когда мяч скатывается по гладкой рампе без трения, его гравитационная PE в основном превращается в:
При отсутствии трения вся потерянная GPE становится кинетической энергией: $mgh = \tfrac{1}{2}mv^{2}$.
Блок массой 2,0 кг скользит из состояния покоя по гладкой рампе, опускаясь на 1,5 м по высоте. Какова его скорость внизу в м/с? (g = 9,81 м/с^2)
mgh = mv^2/2, масса сокращается: v = sqrt(2 × 9,81 × 1,5) = 5,4 м/с. Используйте ВЕРТИКАЛЬНОЕ падение, никогда не расстояние вдоль рампы.
В $mg\Delta h$ высота совпадает с расстоянием, пройденным вдоль склона.
Это ВЕРТИКАЛЬНАЯ высота, набранная или потерянная. Использование расстояния по наклонной всегда приводит к завышению изменения энергии в 1/sin(theta) раз.
Разбор примера: склон с трением
Тележка массой $2.0\ \text{kg}$ отпускают без начальной скорости с вершины наклонной плоскости длиной $3.0\ \text{m}$, которая опускается на высоту $1.5\ \text{m}$. У дна она имеет скорость $4.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Найдите работу против трения и среднюю силу трения.
- Потерянная потенциальная энергия: $mg\Delta h = 2.0 \times 9.81 \times 1.5 = 29\ \text{J}$.
- Приобретенная кинетическая энергия: $\tfrac{1}{2}mv^{2} = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 4.0^{2} = 16\ \text{J}$.
- Разница — это работа против трения: $29 - 16 = 13\ \text{J}$.
- Сила трения: работа = сила × расстояние вдоль наклонной плоскости, значит $F = \dfrac{13}{3.0} = 4.5\ \text{N}$.
- Проверка: без трения скорость была бы $\sqrt{2 \times 9.81 \times 1.5} = 5.4\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — больше, чем $4.0$, как и должно быть.
Тележка скатывается по шероховатой рампе. По сравнению с гладкой рампой, какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты.
Потерянная GPE определяется перепадом высот и одинакова на обеих рампах. Трение забирает часть этой энергии в виде тепловой, поэтому KE внизу меньше ровно на величину работы против трения.
Энергия и импульс
- Сочетание $p = mv$ и $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2}$ дает $E_{\text{K}} = \dfrac{p^{2}}{2m}$.
- Удобно, когда известен импульс, но неизвестна скорость.
Кинетическая энергия, выраженная через импульс $p$, это:
Из $p = mv$ и $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2}$, подстановка $v = p/m$ даёт $E_{\text{K}} = \dfrac{p^{2}}{2m}$.
Методы расчёта через энергию
- Запишите энергию в начале и конце, затем уравняйте баланс.
- Пружина: кинетическая энергия блока превращается в упругую потенциальную энергию $\tfrac{1}{2}kx^{2}$ при максимальной деформации.
- Отскок: отношение высот $\dfrac{h_2}{h_1}$ равно доле сохраненной энергии.
Растянутая или сжатая пружина запасает упругую ПЭ ½kx², готовую перейти в кинетическую энергию
Блок скользит на пружину по гладкой поверхности. При максимальной компрессии вся его кинетическая энергия становится ____ потенциальной энергией.
KE → упругая PE $= \tfrac{1}{2}kx^{2}$ в точке максимальной компрессии, затем обратно в KE, когда пружина отталкивает блок.
При наличии трения часть механической энергии становится тепловой.
Да — эта «потерянная» энергия не уничтожается; она нагревает поверхности и окружающую среду.
Разбор примера: блок встречает пружину
Брусок скользит по наклонной плоскости и ударяется о пружину с кинетической энергией $60\ \text{J}$. Пока пружина сжимается до максимума, гравитационная потенциальная энергия бруска уменьшается ещё на $10\ \text{J}$. Вся потерянная бруском энергия переходит в упругую потенциальную энергию пружины с жёсткостью $k = 3500\ \dfrac{\text{N}}{\text{m}}$. Найдите максимальное сжатие и силу, действующую на брусок в этот момент.
- Энергия в пружине: $60 + 10 = 70\ \text{J}$ (брусок теряет как свою кинетическую энергию, так и часть гравитационной потенциальной энергии).
- Сжатие: $\tfrac{1}{2}kx^{2} = 70$, следовательно $x^{2} = \dfrac{140}{3500} = 0.040$ и $x = 0.20\ \text{m}$.
- Сила при максимальном сжатии: $F = kx = 3500 \times 0.20 = 700\ \text{N}$.
- Проверка: на графике зависимости силы от сжатия площадь под линией до значения $x = 0.20\ \text{m}$ равна $\tfrac{1}{2} \times 700 \times 0.20 = 70\ \text{J}$ — той же самой энергии, найденной другим способом.
Блок с кинетической энергией $40\ \text{J}$ ударяет о пружину жёсткостью $k = 2000\ \dfrac{\text{N}}{\text{m}}$ на горизонтальной поверхности. Вся его KE превращается в упругую PE. Каково максимальное сжатие в метрах?
$\tfrac{1}{2}kx^{2} = 40$, следовательно $x^{2} = \dfrac{80}{2000} = 0.040$ и $x = 0.20\ \text{m}$.
Вы поняли
- гравитационная потенциальная энергия $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ (вертикальная высота!); кинетическая энергия $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2}$
- на гладкой наклонной плоскости $mgh = \tfrac{1}{2}mv^{2}$, значит $v = \sqrt{2gh}$; при наличии трения недостающая энергия равна работе против сил трения
- в терминах импульса: $E_{\text{K}} = \dfrac{p^{2}}{2m}$; пружина накапливает $\tfrac{1}{2}kx^{2}$