Ошибки и неопределенности
Введено| English | Значение |
|---|---|
| uncertainty/ʌnˈsɜːtənti/ | неопределённость |
| micrometer/maɪˈkrɒmɪtə/ | микрометр |
| vernier calipers/ˈvɜːnɪə ˈkælɪpəz/ | штангенциркуль |
| systematic error/ˌsɪstəˈmætɪk ˈerə/ | систематическая погрешность |
| zero error/ˈzɪərəʊ ˈerə/ | погрешность нуля |
| calibration/ˌkælɪˈbreɪʃn/ | калибровка |
| parallax/ˈpærəlæks/ | параллакс |
| random error/ˈrændəm ˈerə/ | случайная погрешность |
| precision/prɪˈsɪʒn/ | точность |
| accuracy/ˈækjʊrəsi/ | точность |
| absolute uncertainty/ˈæbsəluːt ʌnˈsɜːtənti/ | абсолютная неопределённость |
| significant figures/sɪɡˈnɪfɪkənt ˈfɪɡəz/ | значащие цифры |
Насколько вы уверены?
- Измерьте провод дважды, и вы можете получить $5.77\ \text{mm}$, затем $5.79\ \text{mm}$.
- Ни одно из них не «неправильное» — любое измерение имеет некоторую неопределенность.
- Хорошая физика означает знание того, насколько вы не уверены.
Лабораторная работа по неопределенностям
Классифицируйте проблемы измерений по тому, как они влияют на данные.
Снятие показаний с прибора
- Любую шкалу можно снять лишь с определенной точностью.
- Микрометр снимает показания до $0.01\ \text{mm}$; штангенциркуль — до $0.1\ \text{mm}$.
- Наименьший шаг, отображаемый прибором, устанавливает предел вашего снятия показаний.
Штангенциркуль точно измеряет длину с небольшой неопределенностью
Снимите целые миллиметры по основной шкале, затем добавьте десятые там, где линии подвижной шкалы совпадают
Достаточно тщательное измерение может быть точным до нуля, с нулевой неопределенностью.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ни одно реальное измерение не является абсолютно точным — каждое показание имеет некоторую неопределенность. Ключевой навык — оценить ее величину.
Систематические ошибки
- Систематическая ошибка смещает каждое показание на одну и ту же величину в одном направлении.
- Причины: нулевая ошибка, неправильная калибровка или параллакс (снятие показаний сбоку).
- Повторение измерения не устраняет его.
Микрометр измеряет с точностью до ближайших 0.01 мм
Параллакс: наблюдение шкалы под углом смещает показания — систематическая ошибка
Что из перечисленного является систематической ошибкой?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Нулевая ошибка смещает каждое показание на одну и ту же величину в одном направлении — это систематическая ошибка. Остальные варьируются случайным образом от одного показания к другому.
Случайные ошибки
- Случайная ошибка заставляет показания скакать вверх и вниз без закономерности.
- Повторите измерение много раз и возьмите среднее — разброс частично компенсируется.
Точность: насколько узкое распределение вокруг истинного значения T
Чтобы уменьшить случайную ошибку, повторите измерение и возьмите ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Случайные ошибки рассеиваются в обе стороны, поэтому среднее значение многих повторений частично их компенсирует. (Систематическая ошибка сохраняется при усреднении.)
Точность против правильности
- Точность = насколько плотно повторяющиеся показания группируются.
- Правильность = насколько близко они находятся к истинному значению.
Сопоставьте каждый термин с определением, которое ставит экзаменатор.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Повторения исправляют только случайную составляющую. Нулевая ошибка делает показания точными, но неверными, поэтому эти понятия нельзя путать.
Какая ошибка вредит чему?
- Систематическая ошибка смещает всю группу мимо цели → хуже правильность.
- Случайная ошибка увеличивает разброс группы → хуже точность.
Соотнесите каждый узор повторных показаний с его описанием.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Точность — насколько тесен кластер; правильность — насколько близко он находится к истинному значению (центру мишени).
Запись неопределенности
- Мы записываем результат как $x \pm \Delta x$, где $\Delta x$ — абсолютная неопределенность.
- Процентная неопределенность равна $\dfrac{\Delta x}{|x|} \times 100\%$.
Длина равна $(20.0 \pm 0.5)\ \text{cm}$. Какова ее процентная неопределенность?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{\Delta x}{|x|} \times 100\% = \dfrac{0.5}{20.0} \times 100\% = 2.5\%$.
Комбинирование: сложение или вычитание
- Если $y = a + b$ или $y = a - b$, сложите абсолютные неопределенности.
- $\Delta y = \Delta a + \Delta b$.
Комбинирование: умножение или деление
- Если $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$, сложите процентные неопределенности.
- $\dfrac{\Delta y}{|y|} = \dfrac{\Delta a}{|a|} + \dfrac{\Delta b}{|b|} + \dfrac{\Delta c}{|c|}$.
Для $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$, как объединить неопределенности?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
При умножении и делении сложите процентные неопределенности: $\dfrac{\Delta y}{|y|} = \dfrac{\Delta a}{|a|} + \dfrac{\Delta b}{|b|} + \dfrac{\Delta c}{|c|}$.
Какие правила комбинирования неопределенностей верны? Выберите все подходящие варианты.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Неопределенности никогда не компенсируют друг друга. Вычитание двух похожих значений оставляет сумму их неопределенностей над гораздо меньшим результатом, поэтому такая разность получается крайне неточной.
Комбинирование: степени
- Если $y = a^{n}$, умножьте процентную неопределенность на степень.
- $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$.
Радиус измерен с неопределенностью $0.4\%$. Площадь круга равна $A = \pi r^{2}$. Какова процентная неопределенность для $A$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Для степени умножьте на показатель: $A \propto r^{2}$, следовательно, % неопределенность составляет $2 \times 0.4\% = 0.8\%$.
Период T измерен с неопределенностью 2.0%. Какова процентная неопределенность для T в квадрате?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Возведение в квадрат удваивает процентную неопределенность; извлечение квадратного корня уменьшает её вдвое. Указание 2.0% для T^2 — одна из наиболее частых ошибок в этой теме.
Разобранный пример: объем шара
- Диаметр $d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$, а объем $V \propto d^{3}$.
- % неопределенность в $d$: $\dfrac{0.02}{5.26} \times 100\% \approx 0.38\%$.
- Правило степени: % неопределенность в $V = 3 \times 0.38\% \approx 1.1\%$.
- Тогда $V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$.
Значащие цифры
- Дайте ответ с тем же количеством значащих цифр, что и наименее точное измерение.
- Обычно 2 или 3 в этом курсе — слишком много создает впечатление большей точности, чем есть на самом деле.
Вы поняли
- систематическая ошибка → смещает каждое показание (хуже правильность); случайная → разброс (хуже точность)
- повторяйте и берите среднее, чтобы победить случайную ошибку
- комбинируйте неопределенности: слагайте абсолютные для $+\,-$, слагайте % для $\times\,\div$, × на степень для $a^{n}$