Выборочное наблюдение и оценка
| English | Русский |
|---|---|
| sample/ˈsæmpl/ | выборка |
| population/ˌpɒpjʊˈleɪʃn/ | населением |
| stratified/ˈstrætɪfaɪd/ | стратифицированная |
| systematic/ˌsɪstəˈmætɪk/ | систематическая |
| cluster/ˈklʌstə/ | кластерная |
| sampling distribution/ˈsæmplɪŋ ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | выборочное распределение |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | стандартная ошибка |
| Central Limit Theorem/ˈsentrəl ˈlɪmɪt ˈθɪərəm/ | Центральная предельная теорема |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | доверительный интервал |
Опрос, предсказавший выборы
- Опрос 1000 человек может предсказать поведение избирателей 60 миллионов. Как?
- Выборочное наблюдение позволяет делать выводы о всей генеральной совокупности на основе небольшой, тщательно подобранной выборки. Математика, лежащая в его основе, является фундаментом всего статистического вывода.
Генеральные совокупности и выборки
- Генеральная совокупность — это вся группа, которую вы хотите изучить. Выборка — это небольшая группа из генеральной совокупности.
- Качественная выборка требует случайности — каждый член группы должен иметь известную вероятность попадания в выборку.
- Методы выборки: простая случайная, стратифицированная (пропорционально из каждой подгруппы), систематическая (каждый $k$-й член), кластерная.
Стратифицированная выборка. В школе 600 мальчиков и 400 девочек. Стратифицированная выборка из 50 человек: $\dfrac{600}{1000} \times 50 = 30$ мальчиков и $\dfrac{400}{1000} \times 50 = 20$ девочек.
Выборочное среднее практически нормально, независимо от формы распределения генеральной совокупности
Выборочное распределение
X̄ ~ N(μ, σ²/n)
Согласно Центральной предельной теореме, выборочные средние следуют нормальному закону — более узкому для больших выборок.
В школе 600 мальчиков и 400 девочек. Стратифицированная выборка из 50 человек требует скольки мальчиков?
(600/1000) × 50 = 30 мальчиков.
Выборочное распределение среднего
- Выборочное среднее $\bar{X}$ само по себе является случайной величиной:
- Стандартная ошибка среднего равна $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ — она уменьшается по мере роста $n$.
Статистика изучает выборку, чтобы узнать о всей генеральной совокупности
Генеральная совокупность имеет σ = 8. Для выборки n = 64, какова Var(X̄) = σ²/n?
Var(X̄) = σ²/n = 64/64 = 1.
Генеральная совокупность имеет σ = 10 и n = 25. Стандартная ошибка σ/√n = ?
σ/√n = 10/√25 = 10/5 = 2.
Соотнесите каждую идею выборочного наблюдения с её значением.
ЦПТ делает выборочные средние нормальными; их разброс составляет σ²/n, что дает доверительный интервал.
Центральная предельная теорема
- Согласно Центральной предельной теореме, для большой выборки ($n \geq 30$), $\bar{X}$ приблизительно нормально распределена, какова бы ни была форма генеральной совокупности.
- Это один из самых мощных результатов в математике — он позволяет использовать нормальное распределение даже тогда, когда данные не являются нормальными.
ЦПТ применяется к среднему, а не к данным. Центральная предельная теорема гласит, что распределение $\bar{X}$ становится нормальным — а не отдельные точки данных. Исходные данные могут иметь любую форму.
Доверительный интервал на 95% простирается на 1.96 стандартных ошибок в обе стороны от выборочного среднего
Согласно Центральной предельной теореме, выборочное среднее приблизительно нормально для большой выборки, независимо от формы генеральной совокупности.
ЦПТ делает X̄ приблизительно нормальным по мере роста размера выборки.
Центральная предельная теорема гласит, что отдельные точки данных становятся нормально распределенными для больших выборок.
ЦПТ применяется к выборочному среднему X̄, а не к отдельным точкам данных. Сырые данные могут иметь любую форму.
Доверительные интервалы
- Доверительный интервал дает диапазон, который, вероятно, содержит истинное среднее значение.
- Для нормального распределения с известным $\sigma$ (или большой выборкой) 95% интервал равен:
- Из случайной выборки найдите несмещенные оценки среднего и дисперсии (‘несмещенность’ = правильность в среднем), а также доверительный интервал для доли генеральной совокупности; случайные числа помогают выбрать выборку.
Выборка n = 64 имеет σ = 8. Чему равен допустимый предел 1.96 × σ/√n для 95%-ного интервала? (2 знака после запятой)
1.96 × 8/√64 = 1.96 × 8/8 = 1.96.
Вы поняли
- $E(\bar{X}) = \mu$, $\text{Var}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}$; ЦПТ делает $\bar X$ ≈ нормальным для больших $n$
- 95% доверительный интервал: $\bar{x} \pm 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
- хорошее выборочное исследование требует случайности