Проверка гипотез
| English | Русский |
|---|---|
| hypothesis test/haɪˈpɒθəsɪs test/ | статистическая гипотеза |
| null hypothesis/nʌl haɪˈpɒθəsɪs/ | нулевая гипотеза |
| alternative/ɔːlˈtɜːnətɪv/ | альтернативная |
| one-tailed/wʌn teɪld/ | односторонним |
| two-tailed/tuː teɪld/ | двусторонним |
| significance level/sɪɡˈnɪfɪkəns ˈlevl/ | уровень значимости |
| test statistic/test stəˈtɪstɪk/ | статистика теста |
| rejection region/rɪˈdʒekʃn ˈriːdʒn/ | область отвержения |
| critical value/ˈkrɪtɪkl ˈvæljuː/ | критическое значение |
| Type I error/taɪp aɪ ˈerə/ | ошибка I рода |
| Type II error/taɪp ˈtuː ˈerə/ | ошибка II рода |
The courtroom of statistics
- A drug company claims their new medicine works better than the old one. How do you decide if the evidence is strong enough?
- Hypothesis testing 假设检验 is the statistical equivalent of a courtroom: you assume the defendant (the null hypothesis 原假设) is innocent until proven guilty beyond reasonable doubt.
Setting up the hypotheses
- A hypothesis test uses sample data to judge a claim.
- The null hypothesis $H_0$ — the default position (usually "no change" or "no effect").
- The alternative 备择假设 $H_1$ — what you suspect is true.
- One-tailed 单尾 if $H_1$ points one way ($\mu > 50$); two-tailed 双尾 if both ($\mu \neq 50$).
Worked example. A machine fills bottles with 500 mL. You suspect it's underfilling. $H_0: \mu = 500$ (machine is correct). $H_1: \mu < 500$ (underfilling). This is a one-tailed test.
A two-tailed 5% test rejects H0 in the shaded tails beyond plus or minus 1.96
Критическая область
отклонить H₀ если z < −z*
Заштрихованный хвост — это критическая область — если статистика критерия попадает туда, отклоните H₀.
Нулевая гипотеза H₀ обычно утверждает, что:
H₀ — это утверждение, которое проверяется, обычно "нет изменений"; H₁ — предполагаемая альтернатива.
Если H₁ утверждает μ > 50, тест является:
Направление H₁ в одну сторону (μ > 50 или μ < 50) делает его односторонним тестом.
Running the test
- Fix a significance level 显著性水平 (often 5%), compute a test statistic 检验统计量, and see if it lands in the rejection region 拒绝域.
- If $|z|$ exceeds the critical value 临界值 (1.96 for 5% two-tailed, 1.645 for 5% one-tailed), reject $H_0$.
A one-tailed test at 5% rejects H₀ only if the test statistic lands in the shaded tail.
Significance level is NOT the probability that $H_0$ is true. A 5% significance level means: if $H_0$ is true, there's a 5% chance of getting data this extreme. It does NOT mean there's a 5% chance $H_0$ is true.
Types of error
- Type I error 第一类错误: rejecting $H_0$ when it is true (false positive). Probability = significance level $\alpha$.
- Type II error 第二类错误: accepting $H_0$ when it is false (false negative).
Ошибка типа I — это:
Ошибка типа I = отклонение истинной H₀; Ошибка типа II = принятие ложной H₀.
Ошибка типа II означает принятие H₀, когда она на самом деле ложна.
Тип II = отказ от отвержения ложного H₀ (ложноотрицательный результат).
Worked example — z-test
- $H_0: \mu = 50$, $H_1: \mu \neq 50$ (two-tailed, 5% level). $\sigma = 8$, $n = 64$, $\bar{x} = 52$.
- $z = \dfrac{52 - 50}{8/\sqrt{64}} = \dfrac{2}{1} = 2$.
- Critical value for 5% two-tailed: $1.96$. Since $2 > 1.96$, reject $H_0$.
- Set a null and alternative hypothesis; the test statistic falls in the critical region (reject) or the acceptance region. A Type II error is accepting a false $H_0$. Tests may use a binomial or Poisson distribution.
Утверждается среднее значение генеральной совокупности 50, σ = 8, выборка n = 64, x̄ = 52. Чему равно z = (x̄ − μ)/(σ/√n)?
z = (52 − 50)/(8/√64) = 2/(8/8) = 2/1 = 2.
Для двухстороннего теста с уровнем значимости 5% вы отклоняете H₀, если |z| > 1.96.
Критическое значение для двухстороннего теста с уровнем значимости 5% равно 1.96. Если |z| превышает это значение, отклоните H₀.
You've got it
- $H_0$ (no change) vs $H_1$ (suspected); one- or two-tailed
- test statistic $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$; reject $H_0$ if it's in the rejection region
- Type I = reject a true $H_0$; Type II = accept a false $H_0$