Непрерывные случайные величины
| English | Русский |
|---|---|
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | непрерывная случайная величина |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | функция плотности вероятности |
| area/ˈeərɪə/ | площадь |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | функция распределения |
Кривая, показывающая вероятности
- Непрерывная случайная величина может принимать любое значение в диапазоне — например, точное время прибытия автобуса или точный рост человека.
- В отличие от дискретных величин, нельзя перечислить вероятности для каждого значения. Вместо этого функция плотности вероятности (pdf) описывает форму, а вероятности представляют собой площади под кривой.
Функция плотности вероятности
- Непрерывная случайная величина может принимать любое значение в диапазоне, описываемом функцией плотности вероятности $f(x)$:
Разобранный пример. $f(x) = \dfrac{x}{8}$ для $0 \leq x \leq 4$, ноль в противном случае. Проверка: $\int_0^4 \dfrac{x}{8}\,dx = \left[\dfrac{x^2}{16}\right]_0^4 = \dfrac{16}{16} = 1$. ✓
$f(x)$ НЕ является вероятностью. Значение $f(x)$ в конкретной точке может превышать 1. Только площадь под кривой между двумя точками дает вероятность.
Для непрерывной переменной вероятность — это площадь под плотностью f(x)
Площадь = вероятность
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
Для непрерывной случайной величины вероятность — это площадь под кривой плотности между двумя значениями.
Функция плотности вероятности должна удовлетворять условию ∫f(x)dx по всем x, равному какому значению?
Полная площадь под функцией плотности вероятности всегда равна 1.
Значение f(x) в точке — это вероятность того, что X принимает это значение.
f(x) является плотностью, а не вероятностью. Только площадь под f дает вероятность. f(x) может даже превышать 1.
Для f(x) = x/8 при 0 ≤ x ≤ 4, подтвердите ∫₀⁴ (x/8) dx = [x²/16]₀⁴. Каков результат?
[x²/16]₀⁴ = 16/16 − 0 = 1. Полная площадь равна 1, что подтверждает, что это корректная функция плотности.
Нахождение вероятностей
- Вероятность — это площадь под $f$: $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
Вероятности — это площади под f(x); общая площадь по всем x должна быть равна 1.
Для непрерывной случайной величины P(a < X < b) — это площадь под f(x) между a и b.
Вероятности для непрерывной случайной величины представляют собой площади под функцией плотности.
Нахождение среднего и дисперсии
- Среднее равно $E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx$.
- Дисперсия равна $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$, где $E(X^2) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx$.
Для f(x) = ½x при 0 ≤ x ≤ 2, E(X) = ∫₀² x(½x) dx = [x³/6]₀². Чему равно E(X)? (≈, 2 знака после запятой)
E(X) = ∫₀² ½x² dx = [x³/6]₀² = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33.
Функция распределения
- Функция распределения $F(x) = P(X \leq x) = \displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$.
- $F(x)$ — это площадь под $f$ до значения $x$. Она всегда возрастает от 0 до 1.
- Используйте функцию плотности для нахождения медианы и других перцентилей.
Функция распределения F(x) даёт:
F(x) = P(X ≤ x) = площадь под f до x.
Вы поняли
- функция плотности имеет $f(x) \geq 0$ и общую площадь $\int f = 1$
- вероятность — это площадь под $f$ между пределами
- среднее $E(X) = \int x\,f(x)\,dx$