Линейные комбинации случайных величин
| English | Русский |
|---|---|
| variance/ˈveərɪəns/ | дисперсией |
| linear combination/ˈlɪnɪə ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | линейная комбинация |
| random variable/ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | случайная величина |
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | линейное преобразование |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | независимы |
Математика комбинирования
- Если вы знаете среднее и дисперсию двух отдельных процессов, что произойдет при их сложении?
- Линейные комбинации позволяют предсказывать поведение суммарных случайных величин — это необходимо для контроля качества, финансов и инженерии.
Лабораторная работа по линейным комбинациям
E(aX + b) = aE(X) + b
Измените множитель масштабирования и посмотрите, как масштабируется математическое ожидание.
Линейные преобразования одной переменной
- Для одной переменной, измененной по линейному правилу:
Разобранный пример. $E(X) = 5$, $\text{Var}(X) = 4$. Пусть $Y = 3X + 2$. $E(Y) = 3(5) + 2 = 17$. $\text{Var}(Y) = 3^2(4) = 36$.
Константа $b$ исчезает из дисперсии. Добавление константы смещает среднее, но не изменяет разброс. $\text{Var}(X + 5) = \text{Var}(X)$, а не $\text{Var}(X) + 25$.
Распределение Пуассона Po(3); его среднее и дисперсия равны лямбда
X имеет среднее значение 5. Чему равно E(3X − 1)?
E(3X − 1) = 3E(X) − 1 = 3×5 − 1 = 14.
X имеет дисперсию 4. Чему равно Var(3X − 1)?
Var(3X − 1) = 3²×Var(X) = 9×4 = 36 (−1 не влияет на результат).
В выражении Var(aX + b) константа b:
Прибавление константы смещает данные, но не меняет их разброс, поэтому b сокращается.
Две независимые переменные
- Примечание: дисперсии всегда складываются (даже для $X - Y$), поскольку $(-1)^2 = 1$.
X и Y независимы. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X + Y) = ?
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 9 = 13 (дисперсии складываются для независимых величин).
X и Y независимы. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X − Y) = ?
Var(X − Y) = Var(X) + (−1)²Var(Y) = 4 + 9 = 13. Дисперсии всегда складываются.
Распределения при линейных комбинациях
- Если $X$ имеет нормальное распределение, то и $aX + b$ будет иметь нормальное распределение; сумма независимых нормальных величин является нормальной.
- Сумма независимых распределений Пуассона также имеет распределение Пуассона: если $X \sim \text{Po}(\lambda_1)$ и $Y \sim \text{Po}(\lambda_2)$, то $X + Y \sim \text{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)$.
Если X ~ Po(3) и Y ~ Po(5) независимы, то X + Y ~ Po(8).
Сумма независимых пуассоновских величин является пуассоновской величиной с параметром λ₁ + λ₂ = 3 + 5 = 8.
Разобранный пример — объединение нормальных распределений
- $X \sim N(10, 4)$ и $Y \sim N(20, 9)$ независимы. Найдите распределение $X + Y$.
- $E(X + Y) = 10 + 20 = 30$. $\text{Var}(X + Y) = 4 + 9 = 13$.
- Тогда $X + Y \sim N(30, 13)$.
- Линейные комбинации нормальных распределений являются нормальными; суммы независимых распределений Пуассона имеют распределение Пуассона.
Вы поняли
- $E(aX+b) = aE(X) + b$; $\text{Var}(aX+b) = a^2\,\text{Var}(X)$ ($b$ сокращается, $a$ возводится в квадрат)
- независимы: $\text{Var}(aX+bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$
- нормальное распределение остается нормальным при линейном преобразовании; суммы независимых распределений Пуассона имеют распределение Пуассона