Представление данных
| English | Русский |
|---|---|
| stem-and-leaf/stem ænd liːf/ | стебель-листья |
| box-and-whisker/bɒks ænd ˈwɪskə/ | ящик с усами |
| quartile/ˈkwɔːtaɪl/ | квартиль |
| histogram/ˈhɪstəɡræm/ | гистограмма |
| cumulative frequency/ˈkjuːmjʊlətɪv ˈfriːkwənsi/ | накопительная частота |
| median/ˈmiːdiːən/ | медианой |
| interquartile range/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ | межквартильный размах |
| frequency density/ˈfriːkwənsi ˈdensɪti/ | плотность частоты |
| mean/miːn/ | среднее значение |
| mode/məʊd/ | модой |
| standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ | стандартное отклонение |
| variance/ˈveərɪəns/ | дисперсией |
| outlier/ˈaʊtlaɪə/ | выбросом |
Диаграмма, изменившая историю
- В 1854 году Джон Сноу нанес на карту смерти от холеры в Лондоне и заметил скопление вокруг одного водопроводного насоса. Эта диаграмма спасла жизни.
- Выбор правильной статистической диаграммы — это навык, он раскрывает закономерности, скрытые за сырыми цифрами.
Статистические диаграммы
- Выберите диаграмму, подходящую для данных:
- Стебель-лист (сохраняет значения, показывает форму),
- Ящик с усами (минимум, три квартили, максимум),
- Гистограмма (сгруппированные данные — площадь столбца = частота),
- Накопленная частота (накопительные суммы → медиана и квартили).
Накопительная кривая частоты: медиана определяется по горизонтальной линии от отметки «половина», а квартили — по линиям от отметок «четверть» и «три четверти»
Диаграмма размаха отображает сводку из пяти чисел; прямоугольник соответствует межквартильному размаху, IQR = Q₃ − Q₁.
Гистограмма против столбчатой диаграммы. В гистограмме столбцы могут иметь разную ширину, а площадь (а не высота) представляет частоту. Плотность частоты $= \dfrac{\text{frequency}}{\text{class width}}$.
Площадь гистограммы = частота, а не высота. Когда ширины классов unequal, вертикальная ось отображает плотность частоты, а не саму частоту. Высокий узкий столбец может представлять меньше данных, чем низкий широкий.
Разброс и колокол
P(−k < Z < k)
Разброс измеряется в стандартных отклонениях — около 68% данных лежат в пределах 1 σ, 95% в пределах 2 σ.
На гистограмме сгруппированных данных частота показана высотой каждого столбца:
На гистограмме площадь каждого столбца представляет частоту.
На гистограмме с неравными классами высота каждого столбца равна частоте.
При неравных ширинах высота показывает плотность частоты (частота/ширина), а не саму частоту. Площадь представляет собой частоту.
Соотнесите каждую статистическую диаграмму с тем, что она лучше всего иллюстрирует.
Ящик с усами показывает квартили и разброс; гистограмма использует площадь столбца для частоты; накопительная частота дает медиану/квартили; стебель-листья сохраняет значения данных.
Средние значения и разброс
- Тенденция к центру: среднее арифметическое $\bar{x} = \dfrac{\sum x}{n}$, медиана (центральное значение), мода (наиболее часто встречающееся).
- Разброс: размах, межквартильный размах и стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}$.
- Дисперсия = $\sigma^2$.
Диаграмма Венна: пересечение двух событий обозначает область их совпадения
Для 10 значений, где Σx = 50, каково среднее значение?
Среднее = Σx / n = 50 / 10 = 5.
Для 10 значений, Σx = 50 и Σx² = 300. Каково стандартное отклонение? (√(Σx²/n − x̄²))
σ = √(300/10 − 5²) = √(30 − 25) = √5 ≈ 2.24.
Для данных 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 какова медиана?
При 8 значениях медиана равна среднему арифметическому 4-го и 5-го элементов: (4 + 5)/2 = 4.5.
Если стандартное отклонение равно 3, какова дисперсия?
Дисперсия = σ² = 3² = 9.
Решенный пример — стандартное отклонение
- Данные: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. $n = 8$, $\sum x = 40$, $\sum x^2 = 232$.
- Среднее арифметическое $\bar{x} = \dfrac{40}{8} = 5$.
- Дисперсия $= \dfrac{232}{8} - 5^2 = 29 - 25 = 4$.
- Стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{4} = 2$.
Выбор подходящего среднего значения
- Среднее арифметическое: использует все данные, но подвержено влиянию выбросов.
- Медиана: не подвержена влиянию выбросов — подходит для скошенных данных (например, зарплат).
- Мода: полезна для категориальных данных (самый популярный цвет, самый распространенный размер обуви).
- Отображать данные с помощью диаграмм «ствол-лист», диаграмм размаха и накопительных графиков частоты, а также измерять их вариабельность (разброс).
Вы поняли
- Диаграммы: ствол-лист, диаграмма размаха, гистограмма (площадь = частота), накопительная частота
- Средние значения: среднее арифметическое, медиана, мода; разброс: размах, IQR, стандартное отклонение
- $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}$, и дисперсия $= \sigma^2$