Хи-квадрат тесты
| English | Русский |
|---|---|
| chi-squared/kaɪ skweəd/ | хи-квадрат |
| observed/ɒbˈzɜːvd/ | наблюдаемому |
| expected/ekˈspektɪd/ | ожидаемому |
| critical value/ˈkrɪtɪkl ˈvæljuː/ | критическое значение |
| degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/ | число степеней свободы |
| goodness of fit/ˈɡʊdnəs ɒv fɪt/ | соответствия |
| independence/ˌɪndɪˈpendəns/ | независимости |
| contingency table/kənˈtɪndʒənsi ˈteɪbl/ | таблица сопряженности |
Соответствуют ли данные теории?
- Вы ожидаете, что игральная кость выпадает равномерно на каждую грань, или цвет глаз независим от цвета волос. Действительно ли данные согласуются с этим?
- $\chi^2$ (хи-квадрат) тест измеряет, насколько наблюдаемые частоты отклоняются от предсказаний модели — и является ли этот разрыв слишком большим, чтобы быть случайным.
Маршрут хи-квадрат теста
Следуйте наблюдаемым и ожидаемым частотам для принятия решения по тесту.
Тестовая статистика
- Сравните каждую наблюдаемую частоту $O$ с ожидаемой частотой $E$ из модели:
- Малое $\chi^2$ означает, что данные подходят; большое означает, что не подходят.
Статистика хи-квадрат теста это:
χ² суммирует (наблюдаемое − ожидаемое)² ÷ ожидаемое по всем категориям.
Область отклонения
- Сравните $\chi^2$ с критическим значением из таблиц для правого числа степеней свободы.
- Если $\chi^2$ попадает за критическое значение (в верхней хвосте), отклоните модель.
Большое χ² попадает в заштрихованный хвост — слишком велико, чтобы быть случайностью, поэтому модель отклоняется.
Большое значение хи-квадрат (за пределами критического значения) побуждает вас отвергнуть модель.
Большое χ² означает, что наблюдаемые и ожидаемые данные слишком сильно различаются, чтобы это было случайностью.
Разобранный пример
- Наблюдаемые частоты $20, 30, 25, 25$, каждая из которых ожидается равной $25$.
- $\chi^2 = \dfrac{(20-25)^2 + (30-25)^2 + 0 + 0}{25} = \dfrac{25 + 25}{25} = 2$.
- По сравнению с критическим значением, $\chi^2$ равное $2$ является малым — данные соответствуют модели.
Наблюдаемые частоты 20, 30, 25, 25, каждая ожидаемая равна 25. Чему равно χ² = Σ(O−E)²/E?
((−5)² + 5² + 0 + 0)/25 = 50/25 = 2.
Два применения
- Адекватность соответствия: следуют ли данные предложенному распределению (равномерному, биномиальному, Пуассона…)?
- Независимость: в таблице сопряженности являются ли две классификации независимыми? (Ожидаемые $= \dfrac{\text{row total} \times \text{column total}}{\text{grand total}}$.)
Объединяйте малые ожидаемые частоты. Если любая ожидаемая частота ниже 5, сначала объедините категории — приближение $\chi^2$ ненадежно для очень маленьких ожидаемых частот.
Соотнесите каждое применение хи-квадрат теста с тем, что оно проверяет.
Проверка соответствия (Goodness of fit) проверяет распределение; тест независимости использует таблицу сопряженности.
Перед тестированием объедините любой класс, чья ожидаемая частота ниже ______.
Аппроксимация χ² требует ожидаемых частот не менее 5; объедините меньшие.
Вы поняли
- $\chi^2 = \displaystyle\sum\frac{(O-E)^2}{E}$ — наблюдаемые против ожидаемых частот
- большое $\chi^2$ (за пределами критического значения, в верхнем хвосте) отклоняет модель
- применения: адекватность соответствия и независимость; объединяйте ожидаемые частоты ниже 5